Groupe de Galois

Bonsoir à tous,

cet après midi pluvieuse a été pour moi l'occasion de croiser le polynôme $P(x)=x^4-2x+2$, qui est irréductible sur $\Q$. Ce dernier engendre donc une extension de degré 4 de $\Q$, que je  note $\Q[a]$; $a$ est donc une racine de $P$.
Une étude rapide montre que $a$ n'est pas réelle, je note donc $a,\overline{a},b,\overline{b}$ l'ensemble des racines de $P$ dans $\C$.
Je m'intéresse maintenant aux groupe de Galois $gal(\Q[a]/\Q)$ et $gal(\Q[a,b,\overline{a},\overline{b})/Q$. J'ai cru comprendre que ce dernier était isomorphe à $\mathcal{A}_4$, mais j'avoue être un peu démuni quand à l'étude de ces groupes. Il me semble également que $gal(\Q[a]/\Q)$ est trivial.

Si quelqu'un voulait bien m'éclairer des ses lumières, je lui en serais reconnaissant.

Une bonne soirée

F.

Réponses

  • Kraw
    Modifié (19 May)
    Bonsoir,
    Comme P est irréductible sur $\mathbb{Q}$, le corps $\mathbb{Q}(a)$ est un corps de rupture et comme $a\not\in\mathbb{Q}$, l'extension n'est pas triviale.

    Mais pour résoudre tes interrogations, il serait mieux de connaître explicitement les quatre racines plutôt que se lancer à l'aveugle.

    Elle va déjà être séparable car $\mathbb{Q}$ est un corps parfait, mais connaitre ici les quatre racines permettrait d'être plus fin.

    Deux "Je vous salue Évariste" au réveil et trois "Domine Protegere Fac Galois" au coucher pour progresser en mathématiques.

  • http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/ donne que le groupe de Galois de $P$ est $S_4$.

  • Bonsoir,

    je ne connaissais magma que de nom. Effectivement, il indique que le groupe de Galois de $P$ est $S_4$. De plus, il y a dans la sortie magma:
    Symmetric group acting on a set of cardinality 4<br>Order = 24 = 2^3 * 3<br>[ -63430015023 + O(179^5), -3491431302 + O(179^5), -65880104992 + O(179^5),<br>-50964445582 + O(179^5) ]<br>GaloisData over Z_179
    Que signifie la ligne après Order ? Naivement je dirais qu'il s'agit de valeurs approchées des racines de $P$ dans le corps local $\Z_{179}$. Mais de quel chapeau sort ce 179 ?

    Concrètement, le fait que $gal(P)$ soit $S_4$ signifie que pour obtenir un corps de décomposition de $P$: on commence par ajouter une racine arbitraire $a$ à $\Q$, on a alors une extension de degré 4. Puis on ajoute le conjugué de $a$, l'extension $\Q(\overline{a},a)/\Q(a)$ étant de degré 3 et enfin on ajoute une des deux dernières racines, qui donne un extension de degré 2 de $\Q(\overline{a},a)$ ?
    Est il possible de justifier tout cela "à la main" ?

    Bonne soirée

    F.

  • Math Coss
    Modifié (19 May)
    Il n'y a pas de groupe de Galois de $\Q(a)/\Q$ parce que l'extension $\Q(a)$ n'est pas galoisienne – elle n'est pas normale, elle contient une seule racine du polynôme et pas quatre. Quant à la clôture normale, Sage confirme que son groupe de Galois est bien le groupe symétrique entier.
    De fait, la factorisation de $P$ modulo $7$ est $(x + 4) \cdot (x + 5) \cdot (x^{2} + 5 x + 5)$, ce qui d'après le théorème de Dedekind entraîne que le groupe de Galois sur $\Q$ contient une transposition. Modulo $3$ le polynôme est irréductible d'où un $4$-cycle dans le groupe de Galois. Modulo $5$ on trouve $(x + 1) \cdot (x^{3} + 4 x^{2} + x + 2)$ et donc un $3$-cycle. Ça doit suffire à affirmer que le groupe de Galois est bien le groupe symétrique entier (il n'y a pas tant que ça de sous-groupes transitifs là-dedans).
  • Bonsoir MathCoss,

    si j'ai bien compris l'idée: pour déterminer le groupe de Galois d'un polynôme est de réduire ce polynôme modulo $p$ pour diverses valeurs de $p$ et ainsi d'obtenir des informations sur l'ordre de ce groupe. J'imagine donc qu'il existe un morphisme injectif du groupe de Galois modulo $p$ vers le groupe de Galois ?

    Pour ce qui est du groupe de Galois de $\Q(a)/\Q$, je me suis mal exprimé: c'est le groupe des $\Q$-automorphismes de $\Q(a)$, qui est trivial.

    A+

    F.
  • Je ne sais pas exactement comment procèdent les logiciels mais @Poirot voudra peut-être bien nous en dire quelque chose de sérieux.
    Cela pourrait ressembler à ça :
    • on calcule le discriminant et on regarde si c'est un carré : selon le cas le groupe de Galois (de la clôture galoisienne) est contenu ou pas dans le groupe alterné ;
    • on réduit modulo $p$ pour quelques valeurs, ce qui permet d'exhiber des classes de conjugaison (dans le groupe symétrique, c'est-à-dire des types de décompositions cycliques) grâce au théorème de Dedekind ;
    • si ça ne suffit pas, on réduit modulo $p$ et on factorise pour plein de valeurs de $p$ : la proportion de $p$ pour lesquels on obtient un type de factorisation (ce qui via Dedekind donne une classe de conjugaison dans le groupe symétrique) tend vers le nombre d'éléments dans ladite classe de conjugaison divisé par l'ordre du groupe de Galois : c'est le théorème de Chebotarev, qui quantifie celui de Dedekind ; connaissant une liste des groupes transitifs et les diverses proportions des classes de conjugaison, on devine ce qu'est groupe de Galois ; on le démontre je ne sais trop comment.
  • LOU16
    Modifié (20 May)
    Bonjour,
    L' "argument modulaire" me semble ici très indiqué pour déterminer le groupe $G$, groupe de Galois du polynôme $P(X) =X^4-2X+2\:$ sur $\:\Q.$
    $\bullet\:\:P(X)$ ne s'annule pas dans $\mathbb F_3$ et dans $\mathbb F_3[X],\quad X^8-1\wedge P(X)=1.$
    $P(X)$ est donc irréductible dans $\mathbb F_3[X].\quad G\: $contient un $4$-$\text{cycle }.$
    $\bullet\:\:$Dans $\mathbb F_5[X],\:$ la décomposition de $\: P(X)\:$ en produit d'irréductibles est :$\:\:P(X)=(X+1)(X^3-X^2+X+2).$
    $G\:\:$ contient un $3\text{ -cycle}.$
    $\mathfrak S_4\: $est le seul sous-groupe de $\mathfrak S_4$ contenant à la fois un $\:4$- cycle  et un $\:3$-cycle. $\qquad \boxed{G\simeq\mathfrak S_4.}$



  • Bonjour,

    merci pour vos réponses. De ce que j'ai compris, le groupe de Galois "local" est dans le cas sympathique le groupe de décomposition d'un idéal au dessus de $p$ et s'identifie donc à un sous groupe du groupe de Galois "global" ?

    Une bonne journée à vous.

    F.
  • Une dernière question, le fait que $P$ n'ait pas de facteurs carrés dans $\mathbb{F}_p[X]$ est il suffisant pour dire que $p$ n'est pas ramifié dans l'extension globale (ce qui permet d'identifier le groupe de Galois local au groupe de décomposition dans l'extension globale) ?

    Bonne journée

    F.
  • Bonjour,
    Ce qui suit me semble être une réponse positive à ta question.
    Soit $G_p$ le groupe de Galois de $P$ sur $\mathbb F_p$ et $\mathfrak P$ un idéal maximal de $\Z[\alpha,\beta,\overline{\alpha},\overline{\beta}]$ contenant $p$.
     $$\text{ Si disc}(P)=2^4\times101\not\equiv 0 \mod p,\:\text{ alors } G_p \text{ est isomorphe au sous-groupe  }G_{\mathfrak P}= \left\{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak P)=\mathfrak P \right\} \text{ de }G.$$


  • Je ne saurais rien ajouter à ce qu'a expliqué @Math Coss pour la recherche algorithmique d'un groupe de Galois, si ce n'est que le fait que l'on peut voir le fait bien connu que les racines complexes d'un polynôme réel viennent par paires de conjugués comme l'influence du groupe de Galois local du "premier" $\infty$, autrement dit, de l'extension $\mathbb C/\mathbb R$.

    A propos de cette question :
    fredaulycee2 a dit :
    Une dernière question, le fait que $P$ n'ait pas de facteurs carrés dans $\mathbb{F}_p[X]$ est il suffisant pour dire que $p$ n'est pas ramifié dans l'extension globale (ce qui permet d'identifier le groupe de Galois local au groupe de décomposition dans l'extension globale) ?

    Bonne journée

    F.

    La réponse est oui, car $p$ se ramifie dans le corps de décomposition $K$ de $f$ si et seulement $p$ divise le discriminant de $K$. Or $\mathrm{disc} f = \mathrm{disc} K \times [\mathcal O_K : \mathbb Z[\alpha]]^2$, où $\alpha$ est un générateur de $K/\mathbb Q$. Si $f$ n'a pas de facteur carré modulo $p$, alors $p$ ne divise pas son discriminant, et donc $p$ ne divise pas le discriminant de $K$.

    La réciproque est fausse (et correspondrait à un premier divisant l'indice de $\mathbb Z[\alpha]$ ci-dessus), mais je n'en ai pas sous la main. Les mots-clés "Hensel index" devrait donner des pistes concernant ces indices récalcitrants.
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