Dérivées de Zeta et Beta

Un incontournable, pour avoir une vue très générale sur ces fonctions : MathWorld

<http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html&gt;
<http://mathworld.wolfram.com/DirichletBetaFunction.html&gt;

En $0$ : $$\zeta'(0) = - \frac {1}{2} \ln (2 \pi).$$

En théorie des nombres, on s'intéresse plutôt à la dérivée logarithmique.

Par exemple :

1. $$\left | \frac{\zeta'(-1/2+it)}{\zeta(-1/2+it} \right | \leqslant \frac {1}{2} \ln \left ( 1 + \frac {t^2}{9} \right ) + 4,62.$$

2. Avec le développement en produit de Hadamard, on a : $$\frac {\zeta'}{\zeta}(s) = \ln ( 2 \pi) - 1 - \frac {\gamma}{2} - \frac {1}{s-1} - \frac {1}{2} \frac {\Gamma'}{\Gamma} (1 + s/2) + \sum_{\rho} \left ( \frac {1}{s - \rho} + \frac {1}{\rho} \right ),$$ valable pour tout $s \in \C$ tel que $\Re s > 1$, et où la dernière somme porte sur les zéros non triviaux de la fonction $\zeta$.

Borde.

J'utilise ce que JJ n'aime pas les séries divergentes :

$$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\log(2k+1)$$

Un truc assez joli que je trouve au passage est :

$$\beta'(-1)=2\frac{G}{\pi}$$

où $G$ est la constante de Catalan.

Pour te mettre sur la voie : regarde l'article que je t'avais recommandé pour calculer $\zeta'(0)$ en utilisant le produit de Wallis.

A mon tour de confirmer ce que dit Jean à propos du lien entre $\beta'(1-2n)$ et $\beta(2n)$, je trouve :

$\beta'(1-2n)=(n+1/2)E_{2n}\frac{\beta(2n)}{\beta(2n-1)}$

où $E_k$ est le kième nombre d'Euler.

soit par exemple :

$\beta'(-7)=\frac{427\beta(8)}{2\beta(7)}$

Ne pas désespérer il reste Borde. Il existe je crois des taités sur les L-fonctions mais pas qui répondent à tes questions. C'est plutôt d'un point de vue th. analytique des nombres avec généralisation de l'hypothèse de Riemann.

Pour l'analogie avec zeta on a :

$\zeta'(-2n)=(-1/4)B_{2n}\frac{\zeta(2n+1)}{\zeta(2n)}$


où $B_k$ est le kième nombre de Bernoulli.


On devrait avoir le même genre de formule pour toute L-fonction au niveau des zéros triviaux.

La symétrie des zéros de $\zeta$ par rapport à la droite $\sigma = 1/2$ provient de son équation fonctionnelle.

Par ailleurs, tu trouveras $\zeta''(0)$ et $\zeta'''(0)$ (et d'autres...) ici, bien évidemment : \lien {http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html}.

Enfin, la piste que tu suggères a déjà été exploitée, et continue d'être cherchée, surtout avec $\sigma = 1/2$. L'ordre de grandeur de $\zeta(1/2 + it)$ (pour $|t| \geqslant 2$, disons) est une question récurrente en théorie analytique des nombres, et il est conjecturé que $\zeta(1/2 + it) \ll_{\varepsilon} |t|^{\varepsilon}$ pour tout $\varepsilon > 0$ aussi petit que l'on veut. Cette conjecture porte le nom de {\it Hypothèse de Lindelöf}, et n'a pas encore été démontrée. Malheureusement pour HR, cette conjecture est plus faible que HR (plus précisément, HR implique Lindelöf).

Borde.

La méthode analytique pour le TNP (version avec terme d'erreur) procède selon la stratégie que tu as indiqué : non annulation de $\zeta$ sur la droite $\sigma = 1$, obtention d'une région sans zéro débordant légèrement à gauche de cette droite de manière à contrôler $\zeta'/\zeta$ et $1/zeta$ intervenant dans l'intégrale due à la formule de Perron, application de Perron + th. résidus et majoration du reste avec les bornes obtenues précédemment.

Pour une version faible ($\pi(x) \sim x/\ln x$, par exemple), seule la condition $\zeta(1+it) \not = 0$ (combinée avec un théorème taubérien) suffit.

On sait, depuis Erdös et Selberg (1949), obtenir la version faible sans avoir recours à la variable complexe. Leur méthode a été ensuite améliorée par divers chercheurs, dont Harold Diamond, ce qui a permis d'obtenir le résultat : $$\pi(x) = \mbox {li}(x) + O \left ( x \e^{-(\ln x)^{1/6- \varepsilon}} \right ),$$ malheureusement encore "loin" des termes d'erreur obtenus via les méthodes analytiques.

En tout état de cause, on sait que l'exposant minimal $\theta$ du terme d'erreur $$\pi(x) = \mbox {li}(x) + O \left ( x^{\theta} \right )$$ est obtenu en prenant le supremum des parties réelles des zéros non triviaux de $\zeta$. Ainsi, plus on arrivera à repousser la région sans zéro de cette fonction vers la droite critique, meilleur sera l'exposant dans le TNP.

Les connaissances actuelles n'ont pas permis de repousser suffisamment loin cette région sans zéro pour avoir permis des progrès significatifs concernant ce terme d'erreur. En fait, la meilleure région sans zéro actuellement connue date de 1958, obtenue par Vinogradov et Korobov, qui ont montré que $\zeta$ ne s'annule pas pour $$\sigma \geqslant 1 - c (\ln t)^{-2/3} (\ln \ln t)^{-1/3}$$ (avec $t \geqslant 3$), ce qui est un progrès somme toute assez faible par rapport à la région obtenue par Hadamard et de La Vallée Poussin en 1896...et qui reste encore très loin de l'objectif suprême : HR !

Borde.

{\bf PS}. La notation de Vinogradov $\ll$ a la même signification que celle de Landau $O(.)$.

Non, il y a une erreur de typo dans mon estimation ci-dessus, et j'ai oublié de corriger. Il faut (évidemment) lire : $$\pi(x) = \mbox {li}(x) + O \left (x \e^{- (\ln x)^{1/6 - \varepsilon}} \right ).$$ Dans tous les cas, HR donne la {\it meilleure} estimation possible de ce reste sous la forme : $$\pi(x) = \mbox {li}(x) + O \left ( \sqrt {x} \ln x \right ).$$ Pendant que j'y suis, rappelons que Schoenfeld a donné une valeur explicite à une constante possible intervenant dans ce terme d'erreur. Plus précisément, si HR est vraie, on a pour tout $x \geqslant 2657$ : $$\left | \pi(x) - \mbox {li}(x) \right | < \frac {\sqrt {x} \ln x}{8 \pi}.$$

Borde.