Géométrie 4eme

Luffy · 15 May

Pour la question 3 c'est plutôt les triangles ADB et CDB qu'il faut comparer non? et il est censé le faire sans utiliser le fait que les longueurs opposés sont égales dans un parallélogramme (vu que c'est la question 4?)

Chaurien · 15 May

Aïe, on se heurte toujours au même problème : qu'est-on censé savoir en géométrie au premier cycle secondaire (« collège ») ?

Quelqu’un pourrait-il nous communiquer les programmes de ces classes en 2024 ? En espérant que nous pourrons comprendre le jargon didactique qui, j'en ai peur, les accompagne probablement...

Anecdote, il y a pas mal de temps, j'assurais des heures pour la préparation au CAPES à Jussieu. Sympas, les collègues m'avaient laissé la géométrie, et j'ai souffert le martyre parce que je ne savais jamais ce qui était supposé connu.

Par exemple, pour le problème posé dans ce fil, la symétrie centrale pourrait être utile aussi, mais peut-elle être invoquée en Quatrième ?

Dom · 15 May

5e : symétrie centrale.

Figure superposable par demi-tour.

Définition ponctuelle avec le milieu.

Elle conserve longueur de segment et mesure d’angle.

Elle transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

C’est toute la 5e quasiment en géométrie.

Ça permet d’avoir les théorèmes sur les angles alternes-internes et le parallélisme et le fait que la somme des angles du triangle vaut 180°.

Et tout sur les parallélogrammes : côtés opposés de même longueur, angles opposés de même mesure, angles consécutifs supplémentaires, diagonales de même milieu.

La chasse aux angles est ouverte à n’importe quel moment ensuite.

hx1_210 · 15 May

@Luffy, oui en effet c'est une coquille. et oui pour la seconde question que tu poses, le but est de se servir d'angle et parallélisme.

@Chaurien c'est en effet un problème majeur. L'axiomatique n'est pas clairement définie. Elle n'est tout simplement pas définie. On ne sait pas non plus quel est l'ordre d'introduction.

Bref c'est le bazar.

Pour ma part je considère que l'on admet que parallèle implique alterne-interne égaux, comme une conséquence plus ou moins claire du postulat d'Euclide et que que l'on démontre (suivant Euclide) par construction les trois cas d'égalité des triangles. Le reste suit. Mais je bougonne à chaque fois et j'ai tout fait pour ne pas avoir de 5e classe dans laquelle on ne sait littéralement pas dans quel ordre on est censé amener les choses.

En 4e je démontre l'équivalence entre les deux définition du parallélogramme: mes élèves ne comprennent pas vraiment l'intérêt mais moi je dors mieux la nuit et c'est un bon exercice.

Enfin cela gène de moins en moins de monde, soit que les collègues s'en fichent (il y a tellement d'autres problèmes!) soit qu'ils ne sont même pas conscient qu'il y a des questions à se poser (cf nouveaux recrutement).

Dom · 15 May

hx1_210, tu maintiens que « bissectrice » est au programme du coup ?

Luffy · 15 May

je ne sais pas si le livre Démontrer pour comprendre est conforme aux programmes actuels et j'avoue que je m'en fiche un peu de faire du hors programme. En tout cas la symétrie centrale n'est pas censée être utilisée car elle n'est vu que dans le chapitre "Transformation du plan" du programme de 3eme. En revanche la bissectrice est vue dans le chapitre égalité triangulaire de 5eme.

donc j'en déduis que cet exercice du chapitre 31 est réalisable avec ce qui a été vu dans les chapitres précédents (cf sommaire en PJ)

hx1_210 · 15 May

@Dom je suis allé vérifier en effet le mot n'apparait pas dans les programmes ni en cycle 3 (les cycles pouah!) ni 4 de même que la médiane.

Cela fait longtemps que je n'ai plus fait de 6e et de 5e ....

Mais, la symétrie axiale reste au programme, donc la bissectrice n'est pas au programme explicitement mais l'étudier n'est pas hors programme.

Dom · 15 May

Oui, je suis d’accord. Et quand un prof tombe dessus dans un exercice, annoncer que ça porte un nom fait partie de son travail.

La symétrie axiale fait en effet partie du travail possible.

Par contre l’équidistante aux côtés puis le centre du cercle inscrit, ça sort un peu (même si…).

hx1_210 · 15 May

C’est dingue de se dire que les petits français arrivent au bac sans savoir ce qu’est une médiane une bissectrice un cercle inscrit un cercle circonscrit…

On comprend pourquoi pour beaucoup comme on le fait encore on court tout le temps.

fin du HS

Domi · 15 May

Quand les profs ne connaissent plus le programme , il y a un problème . Il n'y a pas si longtemps il tenait en quelques pages . Maintenant c'est une soupe dans laquelle une chatte ne retrouverait pas ses petits .
Domi

Sato · 15 May

La bissectrice n’est pas explicitée au programme mais on peut en parler, dans le livre bleu il y a d’ailleurs un exercice intéressant dessus avec des triangles égaux.

stfj · 15 May

Je crois que je me suis mal fait comprendre. Aussi, je fais la démonstration in extenso:

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/hs/hd1q6ad9wsch.png

Soit M sur le long côté tel que AMD est un triangle isocèle en A. Je dis que DM est la bissectrice de $\widehat D$. En effet, $\widehat{ADM}=\widehat{AMD}$(angles à la base d'un isocèle)

Considérons alors le symétrique de AMD par rapport au centre O du parallélogramme : on retrouve les deux angles à la base dans ce triangle symétrique et les deux angles en D, le rosé et le vert sont donc bien égaux, en utilisant un argument d'angles correspondants égaux.

Alors, une fois établi ainsi que DM est la bissectrice de $\widehat D$, $H$ est au milieu. De même $J$.

Nous avons ainsi que $$HJ\parallel AM.\square$$

Chaurien · 15 May

@Domi Combien j'approuve ton dernier message ! Je l'ai écrit moi-même plusieurs fois. J'ai reproduit une page d'un manuel des années 1950-60 qui donnait le programme de deux années sur une page, sans besoin de boursouflure didacticienne. Le professeur compétent n'a pas besoin qu'on lui tienne la main. Le programme lui donne la liste des questions à traiter, et c'est tout. Œuvrons pour que revienne le règne du bon sens.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

hx1_210 · 15 May

@Chaurien
Merci le socle Fillon devenu le socle Peillon devenu le cycle Belkacem devenu les annonces BFM Blanquer.

J’ai mis la main sur des cours de Brevet Supérieur il faut que je trouve le temps de les étudier .

Ericpasloggue · 15 May

L'exercice dont il est question ici apparait dans Lebossé-Hémery , classe de 4e (version programme de 1958). Il s'agit de l'exercice 312 (parallélisme des diagonales du rectangle aux côtés du parallélogramme), chapitre Problèmes de révision, et de l'exercice 108 (longueur des diagonales du rectangle), chapitre Parallélogrammes.
Concernant le bouquin de Casamayou-Boucau et Pantigny, c'est certainement ce qu'il y a pour l'instant de mieux sur le marché (peut-être avec les trois livres de Kieffer, que j'ai juste survolés). Cependant, les propriétés sur parallélisme et angles alternes-internes posent un "problème". L'ordre dans lequel elles sont énoncées et la façon dont elles sont "démontrées" ignorent ce qui est connu depuis au moins 2300 ans (mais, il ne fait que reproduire ce qui se trouve dans le volume de géométrie de la collection Monge pour la classe de 2nde, qui date de 1960 environ).
Comme dit plus haut, la bissectrice n'apparaît plus explicitement dans les programmes. La médiane n'ont plus d'ailleurs.
Comme dit plus haut, je donne la première question de cet exercice en contrôle en 4eme.
J'ajoute qu'une IPR a vu récemment ce contrôle et n'a rien trouvé à y redire. Elle a aussi vu des cahiers de cours et d'exercices débordant de démonstrations et n'a rien dit non plus. On peut donc parler de bissectrices et de médianes en 4e (c'était dans le cas des triangles isocèles). On peut aussi faire un cours sur les cas d'égalité dans le cadre de la géométrie neutre. Et on peut proprement démontrer les propriétés sur les angles alternes-internes. Et on peut démontrer les propriétés caractéristiques des parallélogrammes (et prendre pour définition que les diagonales ont le même milieu). Cependant, la notion de convexité n'est pas au programme... mais la caractérisation des parallélogrammes nécessite cette notion, donc ça passe. On peut même faire un cours de logique et parler d'axiome, de contraposée, de réciproque, de raisonnement par l'absurde... mais la dame aurait préféré qu'il soit éparpillé (façon puzzle ?) dans les autres leçons (ça doit être la fameuse progression spiralée).

Dom · 15 May

Le « cours de logique » étant banni. Elle aura conseillé d’éparpiller tout cela pour ne pas donner l’impression de faire de la logique pour faire de la logique. Ainsi, c’est plutôt « dès que l’occasion se présente, un petit point de logique est soulevé ».

Par exemple, un exercice « déterminer la contraposée de chacune des propositions suivantes » serait peut-être montré du doigt, au moins par quelqu’un de zélé.

Chaurien · 15 May

« Géométrie neutre » ? « progression spiralée » ? Qu'est-ce ?

Dans certains messages, les collègues écrivent « on peut » traiter telle ou telle question. Moi j'étais habitué à ce que le programme d'une classe soit une liste de questions qu'on doit traiter dans l'année, le choix de démonstration, et même d'ordre, étant laissé au professeur, supposé compétent. Existe-t-il de telles programmes pour les classes du premier cycle secondaire (« collège ») ?

hx1_210 · 15 May

@Ericpasloggue tu démontres comment les propriétés sur les alternes internes ? (Avec quels prerequis) cela m’intéresse.

pozzar · 15 May

A ma connaissance, ce n'est plus au programme (tout comme la médiane)...
Mais en vieux prof réfractaire professionnel, j'en parle à l'occasion d'exercices sans évaluer car sinon on pourrait me tirer les oreilles...

Ericpasloggue · 15 May

Une utilisation pertinente de la notion de contraposée me semble plutôt être d'énoncer la contraposée de la proposition "si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles" pour se rendre compte qu'il ne s'agit jamais que du théorème de l'angle extérieur... fin de la démonstration. On peut alors passer à la démonstration de la réciproque, qui va nécessiter l'utilisation de l'axiome des parallèles. J'aurai aimé voir cela dans les deux ouvrages que j'ai cités précédemment (rien de bien neuf, Euclide Livre I, propositions 26 à 29).

Dom · 15 May

Oui Chaurien, c’est encore comme ça.

Le programme officiel est ce qu’il est (pas énormément explicite de mon point de vue) puis il y a les « attendus de fin de [chaque niveau] » qui listent plusieurs choses dans le genre « l’élève sait ceci », « l’élève sait faire cela ». Et, il y a même des exemples d’exercices pour illustrer ce que doit savoir faire l’élève dans ces « attendus ». Ces exercices s’appellent « exemples de réussite ».
Il existe enfin un dernier document « truc de fin de cycle » qui met dans un tableau les notions en les étalant selon les niveaux dudit « cycle » (cycle 3 : CM1-CM2-6e ; cycle 4 : 5e - 4e - 3e).

C’est donc bien explicite tout de même.
Sur le site EDUSCOL on trouve tout cela.

Mais les profs en exercice doivent bien avouer qu’ils n’ont peut-être pas lu ces documents. Aussi, pour certains qui les ont lus, ils décident de n’en faire qu’à leur tête, et ils le revendiquent parfois.
Ainsi, on peut se plaindre tant qu’on veut des programmes mais certains (j’évalue cela à une grande majorité) décident de ne pas les suivre (je ne parle pas de voir des notions en plus, ça c’est autre chose). Un exemple : les attendus sur Scratch (programmation). Je trouve que ce n’est pas « des maths » mais c’est dans le programme officiel de mathématiques. Il y a bien des disparités entre chaque bahut, voire chaque classe d’un même bahut et une partie se blottit derrière le bouclier de la liberté pédagogique. Je ne critique pas même si ça ressemble à une critique.
Je dis ce que je pense être les faits.

hx1_210 · 15 May

@Ericpasloggue
Ok tu suis donc Euclide. et Merci.

En cours je ne démontre pas le théorème de l'angle extérieur. Moralement, (pas logiquement) tout cela repose sur le postulat des parallèles donc cela ne me dérange pas d'admettre comme axiome les propriétés des angles alternes-internes.

C'est mon avis.

Pour le coup un véritable programme trancherait ces questions mais nos IPR sont bien loin de ces questions qu'ils ont commencer par mépriser pour finir par les ignorer au sens propre du terme et l'on voit bien pourquoi l'enseignement du point de vu de son contenu (sans parler des moyens) va très mal.

Un bon enseignement de la géométrie au collège pourrait être celui des Eléments (ce qui n'a rien de simple et forme une bonne entrée pour une formation mathématiques).

Ericpasloggue · 15 May

hx1_210 a dit :

@Ericpasloggue tu démontres comment les propriétés sur les alternes internes ? (Avec quels prerequis) cela m’intéresse.

Dans le chapitre Cas d'égalité, je prends C-A-C comme axiome et je n'utilise pas l'axiome des parallèles dans ce chapitre (c'est dit explicitement dans le cours). J'en déduis le théorème de l'angle extérieur : "Pour tout triangle, la mesure d’un angle extérieur en un sommet est strictement supérieure à la mesure des angles intérieurs en les autres sommets.". Dans la démonstration, je passe sous silence le fait que l'axiome de Pasch est utilisé (je ne fais que suivre d'illustres prédécesseurs).

Je démontre pas mal d'autres choses dans ce chapitre (quelques autres cas d'égalité, mais pas tous par manque de temps, les différentes caractérisations des triangles isocèles, l'inégalité triangulaire, la notion de distance d'un point à une droite,...). chapitre suivant: Avec des parallèles. Je commence par "si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles", qui n'est que la contraposée de l'angle extérieur. sa réciproque nécessite la proposition précédente et l'axiome des parallèles (et une notion de mesure des angles qui est une notion première vérifiant quelques axiomes).

Tout ceci se trouve par exemple dans un bouquin que j'ai déjà cité plusieurs fois sur ce forum : https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=MBK/47 en particulier le chapitre I (en accès libre sur la page précédente) https://www.ams.org/books/author-pages/mbk-47/MBK47IntroGeom_Revision2-0.pdf

Remarque : je sais que prendre C-A-C comme axiome est un poil fort. Hilbert prend une proposition légèrement plus faible comme axiome et en déduit C-A-C.

biely · 15 May

Dom a dit :

Le « cours de logique » étant banni. Par exemple, un exercice « déterminer la contraposée de chacune des propositions suivantes » serait peut-être montré du doigt, au moins par quelqu’un de zélé.

Ce serait fort dommageable de mon point de vue de montrer du doigt ces histoires de contraposée car cela peut servir hors des mathématiques. Encore aujourd'hui une formatrice (aucun rapport avec les maths) a déclaré: ’’Si vous faites ça alors vous avez (obtiendrez) une sale note’’. Question: ’’Et si on ne le fait pas?’’. Réponse: ’’Ben c’est de la logique mathématiques, alors vous n’aurez pas une sale note’’. Je lui ai objecté qu’elle confondait une implication avec la contraposée de la réciproque (ou même qu’elle confondait une implication avec une équivalence) mais elle a eu du mal à me comprendre...Cela m’a fait penser à l’anedocte de CC d’une maman qui dit à son fils ’’Si tu ne manges pas ta soupe alors tu auras une claque’’. Le gamin mange sa soupe puis reçoit une claque. Le gamin ne comprend pas et pourtant la maman n’a pas menti.

hx1_210 · 15 May

@Ericpasloggue

Merci pour ces ressources. J'ai parfois l'impression d'être intégriste mais je le suis moins que toi.

mais tu me donnes des idées.

(Toujours est-il que je tiens à tort ou à raison que pour avoir ces discussions, nécessaires à la construction d'un cours, il faut avoir une véritable formation en mathématiques qui ne saurait se limiter aux deux premières années post-bac.

Je tiens aussi que la géométrie d'Euclide donne lieu à des problèmes souvent difficiles et aussi interessants que formateurs.)

Ericpasloggue · 15 May

hx1_210 a dit :

@Ericpasloggue
Ok tu suis donc Euclide. et Merci.

En cours je ne démontre pas le théorème de l'angle extérieur. Moralement, (pas logiquement) tout cela repose sur le postulat des parallèles donc cela ne me dérange pas d'admettre comme axiome les propriétés des angles alternes-internes.

J'ai du mal à voir ce que veut dire moralement ici. Le théorème de l'angle extérieur est valide en géométrie hyperbolique.

Je reproche au bouquin d'où est pris l'exercice initial de ce fil d'inverser l'ordre des propositions, ce qui fait dépendre d'une proposition euclidienne une proposition qui relève de la géométrie neutre.

hx1_210 · 15 May

Moralement: "sa réciproque nécessite la proposition précédente et l'axiome des parallèles (et une notion de mesure des angles qui est une notion première vérifiant quelques axiomes)." On doit donc admettre de toutes façons.

Franchement je ne sais pas ce que tu as comme classe et comme élèves dedans mais moi je ne me vois pas refaire les Eléments d'Euclide en classe, d'autant que Angles et parallélisme c'est en cinquième, classe ou la méthode démonstrative n'est pas construite. Les preuves sont souvent bien difficiles voire inaccessibles pour une grosse majorité des élèves qui savent à peine lire et écrire. Je ne te critique pas, je donne mon avis.

Le livre que tu cites est fort intéressant, mais il est hors de portée d'un collégien, fusse-t-il collégien du temps de Lebossé. Soyons réaliste.

En quatrième, je préfère garder du temps pour démontrer les "règles des signes" et les "règles de calcul des fractions".

Dans une éducation nationale normale, le programme trancherait.

Géométrie 4eme

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