Comparaison avec le logarithme naturel.
Bonjour, ce matin, je me suis amusé à comparer certaines fonctions qui devraient s’approcher du logarithme naturel à l'infini. J'ai remarqué que le produit eulérien est assez éloigné du logarithme naturel pour de petites valeurs. Peut-être que je me trompe, mais je pensais que le logarithme naturel est une bonne approximation de la fonction zêta de 1, cependant je n'ai pas trouvé d'informations sur Wikipédia.

Réponses
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Pardon https://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_d'Euler-Mascheroni#:~:text=sont asymptotiquement liées.-,Valeur approchée et propriétés,: γ ≈ 0,5772156649.
Vu qu'il existe la constante d'Euler Mascheroni il doit exister une constante pour toutes ces fonctions! -
Je n'arrive pas à voir ce que sont tes courbes vertes et bleues, tu peux expliquer ?
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En bleu: le produit Eulerien pour s=1 https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_eulérien
En vert: la fonction zêta pour s=1 https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_zêta_de_Riemann#Premières_considérations_sur_la_fonction
Le Nombre harmonique pour être plus précis: https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_harmonique#:~:text=En mathématiques, le n-ième,partielle de la série harmonique. -
Bonjour.Tu enfonces des portes ouvertes : "je pensais que le logarithme naturel est une bonne approximation de la fonction zêta de 1". Oui, à une constante près, la constante d'Euler-Mascheroni. Connue depuis plus de trois siècles.Mais finalement, ce que tu fais est assez bizarre, tu veux savoir ce qui se passe à l'infini en regardant ce qui se passe pour de petites valeurs. Ça ne peut pas marcher. C'est comme si tu faisais un sondage sur les futures élections européennes en n'interrogeant que des américains en Amérique.
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Le produit eulérien et la série définissant zeta divergent tous les deux en $s=1$, alors qu'est-ce que tu as bien pu représenter ? Une somme/un produit partiel ?
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Poirot: oui
Gerard: Je n'en suis pas aussi certain que toi.
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En tout cas, je ne connais pas de constante défini comme: $\lambda=\lim_{n\to\infty}\left(\prod_{i=1}^{n}\frac1{1-p_i^{-1}}-\ln(n)\right)$
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Et pour cause !
Va donc voir du côté des théorèmes de Mertens... -
J'ai effectivement fait une confusion entre Zêta et H. Ou plus généralement entre Zêta et ses sommes partielles.
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Bonjour!
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