Question sur la résolution d'un exercice

UItraviolet
UItraviolet
dans Analyse
Bonjour à tous, je me permets de vous demander votre avis concernant un exercice que je viens de faire et auquel je viens de trouver une solution sûrement trop simple pour être vraie. Voici l'exercice : 

Voici la correction de l'exercice : 


Pour ma part je me suis contenter d'introduire le changement de variable $ st=s_{0}u$ qui est de classe $C^{1}$ et bijectif, on se retrouve alors à un facteur multiplicatif près à l'intégrale $$\int_{0}^{+ \infty}f(\frac{s_{0}}{s}u)e^{-s_{0}u}du$$ qui converge d'après les hypothèses de départ non? On est d'accord que le fait d'avoir $\frac{s_{0}}{s}u$ à l'intérieur de $f$ ne change rien à la nature de l'intégrale? 

Merci à ceux qui auront pris le temps de lire ce message,

UItraviolet
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    On est d'accord que le fait d'avoir s0su à l'intérieur de f ne change rien à la nature de l'intégrale?


    Non, on n'est pas d'accord : ce n'est pas si évident.


  • john_john
    john_john
    Comme le dit JLapin, ce n'est pas du tout évident ; cela pourrait même être faux si $s<s_0$.
  • UItraviolet
    UItraviolet
    Ok et j'imagine qu'on n'a pas assez d'hypothèse pour vérifier que cette composée de fonction est bien intégrable, ce qui fait tomber à l'eau cette piste. 
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • john_john
    john_john
    Le problème, dans ta méthode, provient du fait que la composition ne porte que sur une partie de l'intégrande ; si tu veux changer de variable, tu dois le faire aussi dans l'exponentielle.
    D'ailleurs, $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin2x\cdot\sin x}x{\rm d}x$ converge, alors que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin\frac22u\cdot\sin u}u{\rm d}u$ diverge : on ne peut poser $2x=u$ dans le seul premier sinus.
  • UItraviolet
    UItraviolet
    Modifié (10 May)
    Mais mon changement de variable porte bien à la fois sur $f$ et sur l'exponentielle : je passe de 
    $$ \int_{0}^{+ \infty}f(t)e^{-st}dt $$ à 
    $$ \frac{s_{0}}{s}\int_{0}^{+ \infty}f(\frac{s_{0}}{s}u)e^{-s_{0}u}du $$
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (10 May)
    Sauf que dans ta justification, il faudrait qu'il y ait également $s_0 u/s$ à la place de $u$ dans l'exponentielle, ce qui n'est pas le cas.
  • UItraviolet
    UItraviolet
    ah ok je comprends mieux

    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • UItraviolet
    UItraviolet
    Et d'ailleurs j'ai l'impression que ça me pousserait à repartir dans la même direction que le corrigé si je voulais forcer l'apparition de $\frac{s_{0}}{s}u$ dans l'exponentielle
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
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