Un changement d'indice qui change tout

UItraviolet
Modifié (7 May) dans Algèbre
Bonjour à tous, je me rends compte que je suis complétement en train de régresser, voici ce qui m'arrive : 
Je cherche à factoriser $X^{2n+2}-1$ dans $\mathbb{C[X]}$ puis dans $\mathbb{R[X]}$, mais voilà, je vous passe les détails, mais arrive un moment fatidique dans la factorisation où je me retrouve avec :  
$$\prod_{k=0}^{n}(X-e^{i\frac{k}{n+1}\pi })\cdot \prod_{k=n+1}^{2n+1}(X-e^{i\frac{k}{n+1}\pi})$$
Dans le second produit je n'arrive pas à voir autre chose que le changement d'indice suivant : 
$$\prod_{k=0}^{n}(X-e^{i\frac{k}{n+1}\pi })\cdot \prod_{k=0}^{n}(X-e^{i\frac{n+1+k}{n+1}\pi})$$
qui me ramène à ce produit : 
$$\prod_{k=0}^{n}(X-e^{i\frac{k}{n+1}\pi })\cdot \prod_{k=0}^{n}(X+e^{i\frac{k}{n+1}\pi})$$
et à partir duquel je ne peux pas faire grand chose
alors que la solution qui permet de regrouper les racines conjuguées consiste à faire le changement d'indice suivant dans le second produit : 
$$ \prod_{k=0}^{n}(X-e^{i\frac{k}{n+1}\pi })\cdot \prod_{k=0}^{n}(X-e^{i\frac{2n+1-k}{n+1}\pi})$$ et qui lui par contre me permet d'aboutir. 

alors voilà, je ne comprends pas comment avoir l'intuition de faire le deuxième changement d'indice. Imaginons que je sois à l'oral, et que je sois parti dans la première voie, y a-t-il un moyen de se rattraper, ou alors fallait-il avoir la bonne intuition pour le changement d'indice dès le début, en étant motivé par le fait qu'il fallait faire apparaître un signe négatif pour faire apparaître les conjugués.

Bref je suis assez désespéré à quelques jours de mon concours face à de tels blocages. 

Merci d'avoir pris le temps de lire jusqu'ici

UItraviolet
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • L'idée c'est que tu veux regrouper chaque racine avec son conjugué pour avoir quelque chose dans $\mathbb R[X]$. Le conjugué de $e^{i\pi t}$ c'est $e^{-i\pi t} = e^{i \pi(2 - t)}$. Ici $t = \frac{k}{n+1}$ donc $2-t = \frac{2n+2 - k}{n+1}$.
  • Ok donc la morale de l'histoire serait de me forcer à garder en tête à chaque étape la finalité de l'exercice, plutôt que d'essayer de le découper en étapes intermédiaires, au risque de me retrouver bloquer ?
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • salut

    dans un tel exercice de compréhension il peut être utile de choisir des variables distinctes pour mieux comprendre comment se traduisent ces changements de variables.

    ensuite un produit (comme une somme) est commutatif

    dans le cas d'un produit (ou somme) discret un changement d'indice est simplement une permutation du produit à effectuer

    le premier changement d'indice est k = j + n + 1 et si k varie de n + 1 à 2n + 1 alors j = k - (n + 1) varie de 0 à n

    ce changement d'indice est donc croissant ... mais on peut très bien choisir un changement d'indice décroissant et poser k =2n + 1 - i
    et alors quand k varie de n + 1 à 2n + 1 alors i = 2n + 1 - k varie de n à 0

    ensuite il faut bien sûr remplacer convenablement ce changement de variable dans toutes les occurrences de k dans le produit

    maintenant pour ce qui est de l'intuition ... ben c'est le fruit de l'expérience ...

    pour ma plus directement j'aurai écrit : 

    $x^{2n + 2} - 1 = (x^{n + 1} - e^{i2\pi})(x^{n + 1} - e^{i\pi}) = \prod_0^n \left(x - e^{ik \dfrac {2\pi} {n + 1}} \right) \prod_0^n \left(x - e^{ik \dfrac {\pi} {n + 1}} \right) $

    donc déjà il me semble qu'il manque un 2

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • @zygomathique je suis désolé mais je ne vois pas clairement comment votre calcul me permets d'aboutir. 
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • zygomathique
    Modifié (7 May)
    $x^{2n + 2} - 1 = (x^{n + 1} - 1)(x^{n + 1} + 1)$ est le produit de deux polynômes à coefficients réels donc pour chacun les racines complexes sont conjuguées

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

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