Partie réelle d’une équation polynomiale Gauss

etanche
Modifié (7 May) dans Algèbre
Bonjour 
On note $x_0,x_1,x_2,…,x_{16}$ les racines dans $\C$ de $X^{17}-1=0$
Montrer que la partie réelle de $x_1$ vérifie 
$$\Re(x_1)=\frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{68+12\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{578-34\sqrt{17}}})$$
Merci 

Réponses

  • Peut-être ici des éléments de réponse ?

  • Fin de partie
    Modifié (7 May)
    Il y a un truc que je ne comprends pas. Toutes ces racines sont indistinguables, a priori, donc comment peut-on les classer comme semble le faire @etanche?
  • Chaurien
    Modifié (7 May)
    En effet @Fin de partie, c'est une bonne question. Par exemple, quand on cherche les racines de $z^5-1=0$, on a de la chance car les quatre racines autre que 1 sont chacune dans un quadrant distinct, ce qui permet d'affecter les valeurs trouvées « par radicaux » aux expressions trigonométriques. Mais ici, avec 17 racines, c'est difficile. Peut-être la décroissance de $(\Re(x_k))_{1 \le k \le 8}$ ?
  • Math Coss
    Modifié (7 May)
    En effet, @etanche sous-entend sans doute que $x_k=\exp\dfrac{2\mathrm{i}k\pi}{17}$.
  • @Math Coss :  Merci.  C'est ce que je me suis dit aussi en rentrant de courses. (Marcher c'est bon pour réfléchir)

    L'énoncé est sans doute donc: Montrer que:
    \begin{align}\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)=\frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{68+12\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{518-34\sqrt{17}}})\end{align}

    (Sauf que selon Wolfram Alpha cela ne fonctionne pas) 
    et: 
     (je n'ai pas vérifié que Wolfy prenait bien en compte l'expression avec des radicaux, il est parfois facétieux)
  • Si on connaissait la source de cette question peut-être qu'on arriverait à avoir le bon énoncé?
  • Le calcul est classique pour le pentagone et reste faisable à la main pour l'heptadécagone (s'inspirer de https://fr.wikipedia.org/wiki/Période_de_Gauss). Dans un article sur les Nombres 2-3-constructibles, paru aux Advances (et en français SVP :) ), Arnaudiès et Delezoïde, armés d'un ordinateur, le font pour $n=257$ et $n=65537$ (nombres de Fermat) ; un sale coup pour eux serait qu'on en découvrît un encore plus grand.

    Le calcul de $\displaystyle\cos\frac{2\pi}{17}$ a fait l'objet d'un problème de l'ENC Pilotes, dans les années soixante-dix, à l'époque où ce concours ne procédait pas par des QCM ineptes.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (7 May)
    Je me souviens que j'ai fait ce calcul en devoir libre quand je suivais le module de théorie de Galois à l'université.

    En soit l'idée est relativement simple : $\Q\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{17}\right)\right)/\Q$ est une extension abélienne de degré $8$, donc il suffit de résoudre successivement 3 équations d'ordre 2 pour obtenir la valeur cherchée. On peut commencer par faire le treillis de $C_{8}$ avec ses sous-groupes pour en déduire le treillis de l'extension $\Q\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{17}\right)\right)/\Q$.

    C'est juste beaucoup de calculs...



  • Comme disait Galois on saute à pieds joints sur les calculs. >:)
  • LOU16
    Modifié (11 May)

    Bonjour,
     Pardon  de proposer une  justification d'une expression  de  $\cos\left(\dfrac{2\pi}{17}\right)$ en contribuant à la cacophonie créée par la multiplicité des réponses.

    $\bullet\:\:a:= \exp\left(\dfrac{2\mathrm i \pi}{17}\right):\:\:$Il s'agit donc de "calculer" $\:\:X=a+a^{-1}.$
    $\bullet \:\:A:=a+a^2+a^4+a^8+a^{-1}+a^{-2}+a^{-4} +a^{-8},\qquad B:=a^3+a^5+a^6+a^7+a^{-3}+a^{-5}+a^{-6} +a^{-7}.\quad  $Alors:
    $A+B=-1,\:\: AB=-4,\:\: A>0,\:\:B<0,\quad$ donc  $\:\:A=\dfrac{-1+\sqrt{17}}2, \:\:B =\dfrac{-1-\sqrt{17}}2.$

    $\bullet\:\:R: =a+a^{-1}+a^4+a^{-4}, \quad S:=a^2+a^{-2} +a^8 +a^{-8}, \quad T:=a^3+a^{-3}+a^5+a^{-5}, \quad U:=a^6+a^{-6}+a^7+a^{-7}.$
    Alors: $\:\:R+S=A,\quad RS=-1,\quad T+U=B,\quad T U=-1, \qquad R>0,\quad S<0,\quad T>0,\quad U<0,$
    $R =\dfrac {A+\sqrt{A^2+4}}2=\dfrac {-1+\sqrt{17} +\sqrt{34-2\sqrt{17}}}4 ,\qquad T =\dfrac {B+\sqrt{B^2+4}}2=\dfrac {-1-\sqrt{17} +\sqrt{34+2\sqrt{17}}}4.$

    $\bullet\:\:X:=a+a^{-1},\qquad Y:=a^4+a^{-4}.\quad $ Alors:
    $$X+Y=R,\quad XY =T,\quad X>Y.\qquad X =\dfrac{R +\sqrt{R^2-4T}}2,\quad\cos\left( \dfrac {2\pi}{17}\right) =\dfrac{R +\sqrt{R^2-4T}}4 $$
    $$\cos\left( \dfrac {2\pi}{17}\right)=\dfrac 1{16}\left(-1+\sqrt{17} +\sqrt{34 -2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}} +2\sqrt{578-34\sqrt{17}}}\right)$$
    $$\Q\subset\Q(A)\subset\Q(R)\subset\Q(X)\subset \Q(a).$$










  • L'heptagone régulier n'est pas, lui, constructible à la règle et au compas mais le devient si on s'autorise les outils intersections de coniques de CaBri ou de Géogébra. Voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Heptagone

  • (Sauf que selon Wolfram Alpha cela ne fonctionne pas)

    Etanche a mal recopié Wikipedia. Il faut remplacer 518 par 578 vers la fin.
  • @Jlapin : Je me doutais qu'il y avait une erreur de recopie. Merci de la confirmation.
    (

  • @ Jlapin c'est rectifié pour le 578,merci.
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