Équation différentielle

zorg · 6 May

Voici un exercice sur lequel je bloque.

1) Soit $\lambda \in \R$. Déterminer s'il existe $y:\R \rightarrow \R$ développable en série entière telle que $xy''+(1-x)y'-\lambda y=0$

2) On suppose $\lambda=2$. Expliciter les solutions sur $\R_+^*$ et $\R_-^*$ (on admet que sur chacun des deux intervalles l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension $2$).

3) Déterminer les solutions sur $\R$

1) On trouve les fonctions $y: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ avec $a_n = \frac{(\lambda+n-1)(\lambda+n-2) \ldots (\lambda+1)\lambda}{(n!)^2}$.

2) On trouve alors $y(x) = a_0 (x+1)e^{x}$. Je ne vois pas comment trouver une autre solution (non DSE) afin d'obtenir une base de l'espace des solutions. (Si $\lambda=1$ on aurait pu faire le changement de variable $z=y'-y$.)

3) J'imagine qu'on est toujours dans le cas $\lambda=2$. (Problème dans la mise en page de l'énoncé de l'exercice ?)

JavierT · 6 May

Bonjour,

Méthode de Lagrange ou variation de la constante en posant $y=\lambda(x)\times y_0$ avec $y_0=(x+1)e^x$

zorg · 6 May

Cela mène à des calculs inextricables.

JLapin · 6 May

D'après Maple, tu n'auras pas mieux qu'une forme intégrale pour la solution générale.

JavierT · 7 May

zorg a dit :

Cela mène à des calculs inextricables.

C’est à dire ? on ne peut pas toujours exprimer une primitive d'une fonction à l'aide des fonctions usuelles, si c'est ça qui te chagrine.

Math Coss · 7 May

On peut sans doute donner une expression assez explicite pour vérifier que toute solution sur $\R^{+*}$ ou $\R^{-*}$ tend vers l'infini en $0$ à part la solution développable en série entière.

JJ · 7 May

Bonjour,

à voir : https://mathworld.wolfram.com/LaguerreDifferentialEquation.html

zorg · 7 May

JavierT a dit :

zorg a dit :

Cela mène à des calculs inextricables.

C’est à dire ? on ne peut pas toujours exprimer une primitive d'une fonction à l'aide des fonctions usuelles, si c'est ça qui te chagrine.

En cherchant les solutions sous la forme $y(x) = \lambda(x)y_0(x)$ avec $y_0(x) = (x+1)e^x$, je trouve que $\lambda$ est solution de $x(x+1)\lambda''(x) + (1+4x+x^2)\lambda'(x) = 0$ ce qui n'est guère engageant.

zorg · 7 May

JLapin a dit :

D'après Maple, tu n'auras pas mieux qu'une forme intégrale pour la solution générale.

Oui j'ai vu ça aussi sur Wolfram où intervient une primitive de $\frac{e^t}{t}$.

JavierT · 7 May

zorg a dit :

je trouve que $\lambda$ est solution de $x(x+1)\lambda''(x) + (1+4x+x^2)\lambda'(x) = 0$ ce qui n'est guère engageant.

Déjà c'est correct ! Ben ceci s'intègre tout seul car c'est une équation différentielle du premier ordre en $\lambda'$.

Comment intègre-t-on ceci ? Moi je le fais à l'ancienne $\dfrac{\lambda''}{\lambda'}=\ldots$ et en avant.

Sinon, tu es en quel niveau pour avoir du mal à intégrer ceci ?

La difficulté est d'intégrer cette expression de $\lambda'$

Remarque : je ne remplace jamais $y_0$ par son expression, car en fait cela s’intègre tout seul en laissant $y_0$ dans le calcul, car même si on s'est trompé dans la détermination de ce $y_0$, on arrive à trouver l'expression de ce $\lambda'$ en fonction de $y_0$.

math2 · 7 May

Je prends au vol la discussion. Je ne vois pas ce qu'il n'y a pas d'engageant dans l'équation en $\lambda'$. Elle est linéaire du premier ordre en $\lambda'$, et si l'on passe par la séparation des variables, on aura une fraction rationnelle à intégrer et on sait factoriser le dénominateur, donc autrement dit cette équation s'intègre explicitement, au moins sur tout intervalle ne contenant ni $0$ ni $-1$. Il y a sans doute les problèmes de recollement. Normalement on devrait donc avoir une formule explicite pour $\lambda'$, après il est vrai qu'au final tu tomberas sans doute (la théorie dit même avec proba 1) sur une fonction qui n'admet pas de primitive exprimable à l'aide des fonctions élémentaires.

JLapin · 7 May

@zorg

Pour la question 3, tu peux garder $\lambda=2$ et étudier les intégrales obtenues pour probablement démontrer que les seuls recollements possibles produisent des solutions de la forme $x\mapsto C (1+x)e^x$.

zorg · 7 May

Ok merci pour vos réponses. Je vais persévérer et intégrer l'équation en lambda'.

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