Équations différentielles avec $\max(u,0)$

Bonjour, j'étudie actuellement le comportement des solutions d'une certaine équation différentielle. Il s'agit de l'équation  $u"+ u^+ = C_1 \sin(n \pi x) + C_2 \sin(m\pi x)$. Ici $C_1$ et $C_2$ sont des réels et $n,m$ sont des entiers. Aussi la notation $u^+$ correspond à $\max(u,0)$. 
Il est possible de résoudre l'équation $u"+ u^+ = \sin(n \pi x)$ mais après ajout de la constante $C_1$ par exemple, ( $u"+ u^+ = C_1 \sin(n \pi x)$) le problème change considérable si biensur $C_1$ en question est négatif. J'aimerais savoir s'il y'a une façon de résoudre cette difficulté. 
De plus la non linéarité de notre opérateur différentiel ici ne nous permet pas de résoudre $u"+ u^+ = C_1 \sin(n \pi x) + C_2 \sin(m \pi x)$ de façon conséquente. Est ce que vous avez une idée concernant la manière d'aborder cette difficulté ?
Si besoin on pourra supposer qu'on travaille sur l'interval [0,1] et que les conditions aux extrémités sont toutes nulles

Merci d'avance.  

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (4 May)
    Soit $u$ une solution de l'équation. On a deux étapes :
    1) Soit $J$ un intervalle maximal sur lequel la fonction $u$ est de signe constant. Par continuité de $u$, l'intervalle $J$ est fermé et d'intérieur non vide. Comme $u^+ = u$ ou $u^+ = 0$ sur $J$, on peut déterminer une expression de $u$ sur l'intervalle $J$.
    2) Ensuite, il faut étudier la possibilité de raccorder les différentes solutions construites ci-dessus.

  • Merci pour votre réponse Mrj.  Je ne comprends pas très bien la raison de votre 1). Surtout comment le second membre intervient dans votre preuve de l'existence de la solution. 
  • Bonjour, nyadis
    une EDO de la forme $u''=F(x,u,u')$ satisfait au théorème de Cauchy-Lipschitz lorsque, définie sur un ouvert $\omega$ de $\R^3$  et à valeurs dans $\R$, la fonction $F$ du triplet $(x,y,z)$ est continue et localement lipschitzienne en $(y,z)$. C'est bien le cas ici, avec $\omega=\R^3$, où la fonction $F$ est même globalement lipschitzienne en $(y,z)$.

    Comme je ne veux pas me noyer dans les calculs, voici une résolution dans le cas plus simple de l'EDO $u'+u^+=0$.

    Par un point $(x_0,y_0)$, où $y_0\leqslant0$, passe une solution maximale unique ; comme la solution $x\in\R\mapsto0$ convient et qu'elle est définie sur $\R$ entier, c'est bien la solution cherchée.

    Par un point $(x_0,y_0)$, où $y_0>0$, passe une solution maximale unique ; comme la solution $x\in\R\mapsto{\rm e}^{-x}$ convient et qu'elle est définie sur $\R$ entier, c'est bien la solution cherchée.

    Dans ton équation, une solution qui s'annule avec sa dérivée en un point est partout nulle et toute autre solution qui s'annule en un point change de signe en ce point : tu vas devoir recoller les morceaux de solution, comme te le suggère MrJ.


  • Par exemple, avec l'EDO plus simple $u''+u^+=0$, la solution qui satisfait à $y(0)=0, y'(0)=1$ est définie par $x\in[0,\pi]\mapsto\sin x$ et se raccorde en $0$, respectivement en $\pi$, avec la fonction affine qui la rend ${\rm C}^2$ : c'est $x<0\mapsto x$ et $x>\pi\mapsto \pi-x$.
  • nyadis
    Modifié (6 May)
    Merci beaucoup. J'ai à nouveau quelques questions. 
    1) Dans le processus de raccordement des solutions, comment est ce qu'on tient compte du fait que notre solution devrait être au-moins deux fois dérivable ? Voici un exemple ; 
    Si on veut résoudre par exemple $-u"+ u^+ = sin(2 \pi x)$ sur $]0,1[$ avec $u(0)=u(1)=0$ alors on aura deux bouts de solutions, l'une quand $sin( 2 \pi x) $ est positif et l'autre quand $ sin (2 \pi x)$ est négatif. Mais leurs dérivés ne coïncident pas au point de jonction des solutions, du coup est ce que ce recollement est un bon recollement ? 

    2) Aussi j'aimerais savoir; si j'ai à résoudre le problème suivant $-u" = -f^2$ sur un intervalle $]a,b[$ avec les conditions $u(a)=u(b)=0$, est ce que ma solution $u$ sera toujours négative ? Les exemples que j'ai me font croire que oui mais est ce que c'est général ? 
  • Pour la 2)  c'est une évidence, $u$ est convexe 
     pour tout \( x \in ]a, b[ \),

    \[ u(x) \leq \frac{x - a}{b - a}u(b) + \frac{b - x}{b - a}u(a) = 0 \]

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Ah oui, merci gebrane.
  • Bonjour, nyadis,
    pour le 1), tu ne te poses pas la bonne question ! Il s'agit de raccorder les solutions positives de $-u''+u=...$ avec les solutions négatives de $-u''+0=...$ là où elles s'annulent. Cela ne dépend pas du signe du $\sin$.
  • Merci John. Enfait ma préoccupation est plus celle de savoir si le recollement des solutions doit fournir une fonction deux fois dérivable. Ou alors il suffit que cela soit deux fois dérivable par morceau recollé ? 
  • Les morceaux sont forcément de classe ${\rm C}^2$ ; pour avoir des solutions recollées de même classe, il faut et il suffit que la solution à gauche et celle à droite en tout point de recollement  aient même valeur et même dérivée (et automatiquement même dérivée seconde puisque $u''=F(x,u,u')$ où $F$ est continue).
    Fais un calcul dans un cas simple te publie-le, si tu veux.
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