isomorphisme de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$

Dr_Piradian
Modifié (4 May) dans Algèbre
Bonjour,
soit un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $\mathbb{R}$
$\mathcal{B}$ une base de $\mathbb{R}$ et $\aleph=Card$ $\mathcal{B}$
Soient $I$ et $J$ deux ensembles disjoints équipotents à $\mathcal{B}$

Il existe donc des isomorphismes de $\mathbb{Q}$-espaces vectoriels $\mathbb{R}$ avec $\mathbb{Q}^{(I)}$ et $\mathbb{Q}^{(J)}$
On démontre facilement qu'on a un isomorphisme de $\mathbb{Q}^{(I\cup J)}$ sur $\mathbb{R}$

et là mon livre poursuit :
donc on a un isomorphisme de $\mathbb{Q}^{(I)}\times\mathbb{Q}^{(J)}$ sur $\mathbb{R}$

et c'est cette dernière affirmation que je n'ai pas comprise. Comment ils trouvent un tel résultat ?

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (4 May)
    Simplement, parce que l'application $f \mapsto (f_{| I}, f_{| J})$ est une bijection de $\Q^{(I\cup J)}$ sur $\Q^{(I)}\times \Q^{(J)}$.

  • ok, j'ai peut-être une explication, en faisant des recherches j'ai vu un ancien exercice où il avait été démontré que
    soit trois cardinaux $\aleph_1$, $\aleph_2$ et $\aleph_3$,
    alors on a $\aleph_1^{\aleph_2+\aleph_3}=\aleph_1^{\aleph_2}\aleph_1^{\aleph_3}$

    ce qui répond à la question.
  • Mrj, j'avais pas vu ton commentaire, merci de ta réponse.
  • Math Coss
    Modifié (4 May)
    Attention à la différence entre $\Q^I$ (toutes les fonctions de $I$ dans $\Q$) et $\Q^{(I)}$ (toutes les fonctions nulles en dehors d'une partie finie de $I$).
    Cela dit, l'explication de l'égalité des cardinaux est celle que vient de donner @MrJ : une fonction définie sur $I\cup J$ (nulle en dehors d'une partie finie) est caractérisée par ses restrictions à $I$ et à $J$ (lesquelles sont nulles en dehors d'une partie finie) et inversement, la donnée d'une fonction de $I$ dans $\Q$ (nulle en dehors d'une partie finie) et d'une fonction de $J$ dans $\Q$ (nulle en dehors d'une partie finie) permet de définir naturellement une unique fonction de $I\cup J$ dans $\Q$ (nulle en dehors d'une partie finie).
  • Dr_Piradian
    Modifié (4 May)
    Mrj, en fait non, en relisant ton commentaire, je me rends compte que tu ne fais que paraphraser. Comment sais-t-on que
    $f\mapsto(f_{|I},f_{|J})$ est bijective ?

    je vais essayer de réfléchir, la réponse doit être évidente.
  • math_coss, ok j'ai compris, merci.
  • Foys
    Modifié (4 May)
    Pour tout ensemble $E$, $\mathbb Q^{(E)}$ est toujours de même cardinal que $E$ lorsque $E$ est infini.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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