Ensemble de définition produit de convolution
Bonjour
Soient $f$, $g$ 2 fonctions de $L^2(\mathbb{R})$. L'ensemble de définition de $f$ est $D_f=[-A,A]$ avec $A \in \mathbb{R}^{+*}$ et l'ensemble de définition de $g$ est $D_g=[c,d]$ avec $c,d \in \mathbb{R}$, $c<d$ et $[c,d] \subset [-A,A]$.
J'aimerais connaitre l'ensemble de définition de $(f \ast g)(x)$ où $ \ast$ représente le produit de convolution.
Merci
Réponses
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Bonjour.
Tu peux le trouver toi-même en utilisant la définition. Comment doit être t pour pouvoir écrire f(t)? Comment doivent être x et t pour pouvoir écrire g(x-t)? L'intégrale de f(t) g(x-t) par rapport à t existe-t-elle ?
Cordialement. -
$f$ fonction de $L^2(\mathbb{R})$ d'ensemble de définition $D_f=[-A,A]$Non ci capisco niente.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Non ci capisco niente.
Manco io...
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Peut-être que tatof parle du support...
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Il faut sûrement comprendre que $f$ est nulle en dehors de $[-A,A]$ et $g$ est nulle en dehors de $[c,d]$.
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À moins qu'il faille lire que f est L^2 sur [-A, A]?
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Je veux dire que $f$ est non nulle sur $[-A,A]$ et nulle ailleurs.J'ai écris la définition: $(f \ast g)(x)=\int f(u)g(x-u)du$. Ce qui conduit à $x \in [c-A,d+A]$. Là d'accord on a l'ensemble des valeurs de $x$ mais pour moi cet ensemble est trop grand. Plus précisément, on peut trouver des $x_i$ particuliers où le produit de convolution est nul dans cet ensemble. Or je cherche l'ensemble de définition où le produit de convolution ne s'annule pas.Mon problème se passe dans le domaine électronique et j'ai l'impression que c'est cela. Je dirais même que pour avoir un ensemble de définition plus précis, il faudrait calculer exactement le produit de convolution de $f$ et $g$.
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raoul.S a dit :
Peut-être que tatof parle du support...
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Oui , je parle du support et je suis d'accord avec toi. On ne peut rien avoir de plus précis.
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Pas si simple. Le theoreme de Titchmarsh (dans son livre de 1937 'Theory of Functions, faut chercher dedans) dit que si on prend deux mesures signees $\mu_1$ et $\mu_2$ sur $R$ de supports convexes bornes $[a,b]$ et $[c,d]$ alors le support convexe de la convolution est $[a+c,b+d]$, et c'est generalise par Jacques- Louis Lions aux distributions de Schwartz et a $R^n$ en 1948. Si les mesures sont positives c'est plus simple, si $S_1$ et $S_2$ sont les supports (= plus petits fermes de complementaires de mesure $\mu_i$ nulle) le support est $S_1+S_2.$ Ici les mesures sont absolument continues puisque $L^2(a,b)\subset L^1(a,b)$ par Schwarz. Une illustration simple du theoreme de Tichmarsh est avec le produit de deux polynomes $A$ et $B$, puisque la valuation et le degre de $AB $sont les sommes $v(A)+v(B)$ et $d(A)+d(B)$ correspondant aux mesures discretes $\sum _ka_k\delta_k$ et $\sum _kb_k\delta_k.$ Pour les polynomes a plusieurs variables, je trouve le theoreme de Lions assez spectaculaire, meme si il est facile a demontrer dans le cas particulier des polynomes.
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Ta fonction n'est pas positive donc le seul résultat évoqué parle de « support convexe » : je suppose que c'est le plus petit convexe fermé qui contient le support, ou l'enveloppe convexe du support habituel.
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Math coss tu supposes bien.
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Math coss, le message de P était modifié après le mien.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Bonjour!
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