serie entiere et rayon de convergence

gouari · January 2006

salut a tous
j'aimerai savoir combien vaut le rayon de convergence de cette serie entiere:
\sum_{n\geq0}sin(n)z^n
merci d'avance

Mikaël2 · January 2006

bonsoir,

le rayon de convergence est 1.
en effet, pour tout n, $ |sin(n) | \leq 1 $, tu en déduis donc que le rayon de convergence de ta série entière est supérieur ou égal à 1.
Maintenant la série de terme général $ sin(n) $ est divergente ( car $ sin(n) $ ne tend pas vers 0 à l'infini, ce qui se démontre par l'absurde ).
Ceci entraine que le rayon de convergence est inférieur ou égal à 1.
au final le rayon est bien 1.

GLaG · January 2006

1...car si $|z|>1$ le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge ; et si $|z|

gouari · January 2006

salut
j'aimerai connaitre les theoremes que vous avez utilisé
merci d'avance

ryo0 · January 2006

On utilise le fait que si la serie converge pour $z \leq C$ alors $R \geq C$

Si la serie diverge pour $z=C$ alors $R=C$

Sinon on recommence avec une majoration moins large pour $z$

Tu as peut etre dans ton cours la formule d'Hadamard avec une limite sup mais elle n'est pas utile dans les exos (enfin dans ceux que j'ai fait)

gouari · January 2006

merci

serie entiere et rayon de convergence

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