Primitive de $\cos x \cosh x$

Gruss Gott,
On veut calculer la primitive de $\cos x \cosh x$.
Je dispose d'une solution, mais il y en a peut-être d'autres : passage aux exponentielles, IPP, etc. ?
Bouglione Gott

Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)

Réponses

  • Tout exprimer comme des combinaisons d’exponentielles, puis développer, intégrer et finalement simplifier.
  • Oui, en passant par les complexes, je trouve $x\mapsto\dfrac 1 4\big(e^x(\cos x+\sin x)+e^{-x}(\sin x-\cos x)\big)$.
  • C'est la partie paire de la partie réelle d'une primitive de $x\mapsto e^{(1+i)x}$.
    On obtient donc immédiatement que cela vaut : \[\frac 12\Re\left(\frac{e^{(1+i)x}+e^{-(1+i)x}}{1+i}\right)=\frac 14\left(e^x(\cos(x)+\sin(x))+e^{-x}(\cos(x)-\sin(x))\right)\]
  • Erreur de signe @bisam
  • Piteux_gore
    Modifié (29 Apr)
    La solution que j'ai repose sur l'intégration de $\cos z$ sur un chemin idoine du plan ; on trouve que la primitive de
    $\cos x \cosh x$ est $(\sin x \cosh x + \cos x \sinh x)/2$ et que  la primitive de $\sin x \sinh x$ est $(\sin x \cosh x - \cos x \sinh x)/2$.
    En intégrant $\sin z$, on doit sans doute trouver les primitives de $\cos x \sinh x$ et de $\sin x \cosh x$.
    Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)
  • L'immédiateté a un prix...
    Sinon, on peut faire deux IPP et si on ne se plante pas dans les signes, l'intégrale apparaît avec un signe opposé dans le membre de droite.
  • salut

    $f(x) = \cos x \cosh x$

    $ f'(x) = - \sin x \cosh x + \cos x \sinh h $

    $ f''(x) = - \cos x \cosh x - \sin x \sinh x - \sin x \sinh x + \cos x \cosh x = - 2 \sin x \sinh x$

    $ f'''(x) = -2 [\cos x \sinh x + \sin x \sinh x] $

    $ f^{(4)} (x) = -2 [- \sin x \sinh x + \cos x \cosh x + \cos x \sinh x + \sin x \cosh x] = - f''(x) -2f(x) +f'(x)$

    donc $ 2 f(x) = f'(x) - f''(x) - f^{(4)} (x) $  donc $ 2 \int f = f - f' - f'''$

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Oh oui, je suis allé un tout petit peu trop vite car la fonction "partie paire" a beau être linéaire, elle ne commute pas avec la dérivation ! C'est en fait la partie impaire qu'on veut... ce qui donne bien le résultat énoncé par @gai requin .
  • La solution de zygomathique est originale...
    On a donc, pour l'instant, quatre solutions :smile:
    - intégration du cosinus complexe
    - IPP
    - équation différentielle
    - intégration de $\cos x \cosh x + i\sin x \sinh x = [e^{(1+i)x} + e^{-(1+i)x}]/2$.
    Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)
  • Je prefere celle de @Math Coss

     

    \[ \int \cosh(x) \cos(x) \, dx = \cosh(x) \sin(x) - \int \sinh(x) \sin(x) \, dx \]


    \[ \int \sinh(x) \sin(x) \, dx = -\cos(x) \sinh(x) - \int -\cos(x) \cosh(x) \, dx \]

    d'où 

    \[ \int \cos(x) \cosh(x) \, dx = \cosh(x) \sin(x) + \cos(x) \sinh(x) - \int \cos(x) \cosh(x) \, dx \]



    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Elle manque celle d'un farceur qui connait les primitives usuelles sur $\int e^{ax} \cos(bx)$, $\int \cosh(x) \cos(x) \, dx =\frac12\int e^x \cos(x) \, dx+\frac12\int e^{-x} \cos(x) \, dx$ d'où le resultat de @gai requin
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Chaurien
    Modifié (29 Apr)
    Moi je suis partisan de ce qu'on peut appeler la riposte proportionnée : si l'on te donne on coup de poing, tu ne réponds pas avec un coup de couteau. Alors ici, je ne vois pas pourquoi aller chercher une intégrale de fonction de variable complexe sur un contour, alors que nos élèves de bac+1, voire même de Terminale, peuvent trouver cette primitive (pourvu qu'il y ait de vraies Terminales, façon ex-Terminale C...). 
    Si l'on ne veut pas sortir des réels, la double intégration par parties a quelque chose de lapin sortant d'un chapeau. Si les complexes ont été inventés, autant s'en servir, et complexifier c'est souvent simplifier, contrairement à ce que pourrait indiquer le vocabulaire. Alors ma préférence va vers la solution de @bisam.
    Je saisis l'occasion pour redire mon attachement à ce principe de la riposte proportionnée.  La méthode de calcul d'intégrales au moyen d'intégration de fonction complexe sur un contour est évidemment extrêmement précieuse et élégante. mais mon idée est qu'on doit la réserver aux intégrales que l'on ne pourrait calculer avec des moyens plus élémentaires, sinon où est l'avantage ? J'ai vu récemment, sur un site pour la préparation de l'agrégation, le calcul de $\int_{0}^{1}\frac{\ln t}{(1+t)^{3}}dt$ par cette méthode, avec en prime les difficultés pour la définition du logarithme complexe, alors que c'est bêtement une primitive élémentaire ! J'espère que le jury n'apprécierait pas un tel exemple.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • @gebrane : écrire $ \int (uv') = [uv] - \int (u'v)$ est la même chose qu'écrire $uv' = (uv)' - u'v$

    pour la première il est nécessaire de calculer des primitives (ce qui est compliqué), pour la deuxième il suffit de calculer des dérivées (ce qui est bien plus facile)

    ma méthode est la même que celle de @Math Coss ... à l'envers !!

    si f est la fonction cos ou sin alors $f^{(4)} = f$
    si f est la fonction cosh ou sinh alors $f'' = f$
    si f est la fonction exp (ax) alors $f' = af$

    dans le cas d'un produit tel celui de l'énoncé on cherche donc à exprimer f comme combinaison linéaire des ses dérivées pour pouvoir l'intégrer facilement puisque toute fonction est une primitive de sa dérivée

    c'est d'ailleurs souvent ce que l'on fait dans la résolution d'équation différentielle d'ordre 2 ou plus ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • @Chaurien a dit : la double intégration par parties a quelque chose de lapin sortant d'un chapeau.

    C'est sans doute vrai mais c'est le cousin du lapin qui donne la relation de récurrence des intégrales de Wallis : il est donc bien utile de le connaître.

  • Les deux méthodes basées sur les complexes permettent de trouver d'un seul coup les primitives de $\cos x \cosh x$ et de $\sin x \sinh x$.
    Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)
  • Un truc amusant sur les intégrales par contour et la méthode des résidus. En général on s'en sert dans les cas suivants :

    I) Calculer des intégrales trigonométriques. 
    II) Calculer des intégrales de fractions rationnelles.
    III) Calculer des transformées de Fourier.
    IV) Calculer des intégrales à base de logarithmes (ou puissances de logarithmes) accompagnés d'autres fonctions à côté.

    Pour les intégrales de type I, on peut s'en sortir sans résidus via le changement de variable $u = \tan(x/2)$. Pour celles de type II, on a bien sûr la décomposition en fractions simples. (Ce qui n'est pas étonnant quand on considère la méthode des résidus comme une sorte de généralisation de cette décomposition.) 

    Les choses deviennent intéressantes à partir de III, car il y a des transformées de Fourier assez immédiates mais d'autres beaucoup moins. La méthode des résidus devient alors vraiment intéressante. Quant à IV, c'est vraiment là qu'elle brille grâce à son fameux contour "pacman". Chaurien donne un exemple qui se fait sans résidus mais cela fonctionne tout de suite moins bien avec des intégrales de la forme $\int_0^{+\infty} \frac{\ln^n(x)}{P(x)} dx$ avec $n$ et $P$ quelconque. 
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