Intégrale double théorème de Fubini

taib
taib
dans Analyse
Bonjour tout le monde,
J'ai essayé de résoudre l'exercice ci-dessous, mais je ne suis pas certain de ma réponse :
Que donne changement d'ordre d'intégration dans l'intégrales suivante :
$$\int_{0}^{\pi}\left( \int_{0}^{\sin(x)}f(x,y)dy\right) dx$$
Ma réponse est la suivante : 
En changeant l'ordre d'intégration je trouve que $0\leq y\leq 1$ et $\arcsin(y)\leq x\leq \pi$.
Quelqu'un peut m'aider s'il vous plît.
Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • Cyrano
    Cyrano
    Modifié (April 2024)
    Pourquoi ne pas esquisser le graphique de la fonction $x\mapsto \sin(x)$ puis hachurer la zone correspondant à l'ensemble $$E = \{(x,y) \in \R^2 : x \in [0,\pi], y \in [0,\sin(x)]\} ?$$
  • gebrane
    gebrane
    je trouve de tête que $0\leq y\leq 1$ et $\arcsin(y)\leq x\leq \pi /2 +\arccos(y)$.


    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • taib
    taib
    Merci pour votre réponse, mais pourquoi $\frac{\pi}{2}-\arcsin(y)$?
  • gebrane
    gebrane
    si $x\in [0,\pi /2],\quad  y=\sin(x)$ donne ce que tu as trouvé $x=\arcsin(y)$ mais si $x\in [\pi/2, \pi]$ alors $y=sin(x)=cos(x-\pi /2)$ donne $x-\pi/2=\arccos(y)$ [ou encore si tu veux $y=sin(x)=-\sin(x-\pi)$ avec $x-\pi\in [-\pi /2,0]$ qui donne $x-\pi =\arcsin(-y)$]
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • taib
    taib
    Merci pour votre explication claire.
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