Mille sept consécutifs.

Bonjour, dans ces exercices on parle de l"écriture décimale.
a) Montrer qu'il y a une puissance de $2$ qui s'écrit avec mille chiffres sept consécutifs.
b) Montrer qu'il y a un nombre premier qui s'écrit avec mille chiffres sept consécutifs.
c) Montrer que la somme des inverses des entiers qui ne contiennent pas mille chiffres sept consécutifs. converge.



Réponses

  • Purée,

    t'es en forme sieur Cidrolin !
  • Bonjour, Cidrolin,

    je donne quelques indications pour a) et c) qui sont classiques et pose une question pour le b).

    a) S'appuyer (pas trop fort) sur la structure des sous-groupes additifs de $\R$.

    b) Quel résultat a-t-on le droit d'invoquer quant à la répartition des nombres premiers ?

    c) La série converge déjà si l'on impose que les mille chiffres $7$ ne se trouvent pas dans... (je n'en dis pas davantage). Si, dans l'énoncé, on remplace <<mille>> par <<deux>>, on a déjà la même situation.

  • Merci  @john_john, pour le b), on peut peut-être utiliser le théorème du jeune de Richelet.
  • Merci, Cidrolin ; pour le b), il y en a donc une infinité !
  • Sinon on peut vérifier avec un logiciel de calcul formel que $15097777\cdots 7$ (avec mille chiffres $7$) est premier.
  • Premier, sûr et certain ou avec un test probabiliste ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Nicolas : on ne demande pas d'en exhiber un
  • Je parle de celui exhibé par JLT, justement. ;)
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Je pense en effet que les tests utilisés par les logiciels de calcul formel sont probabilistes.
  • Guego
    Modifié (23 Apr)
    Je note $a = 777\cdots777$ (avec $1000$ chiffres $7$).
    Il existe une puissance de 2 qui commence par 1000 chiffres 7
    $\Leftrightarrow$ Il existe un $n\in \N$ et un $k\in \N$ tels que $a\times 10^k \leqslant 2^n < (a+1) 10^k$
    $\Leftrightarrow$ Il existe un $n\in \N$ et un $k\in \N$ tels que $\ln(a)+k\ln(10) \leqslant n\ln(2) < \ln(a+1)+ k\ln(10)$
    $\Leftrightarrow$ Il existe un $n\in \N$ et un $k\in \N$ tels que $\ln(a) \leqslant n\ln(2) -k\ln(10) < \ln(a+1)$
    $\Leftrightarrow$ Il existe un $n\in \N$ et un $k\in \N$ tels que $\dfrac{\ln(a)}{\ln(10)} \leqslant n\alpha -k < \dfrac{\ln(a+1)}{\ln(10)}$, avec $\alpha = \dfrac{\ln(2)}{\ln(10)}$.

    Or, $\alpha$ est irrationnel, donc $\{ n\alpha-k, \; (n,k)\in \N^2 \}$ est dense dans $\R$ (classique), d'où le résultat : il existe une puissance de $2$ qui commence par $1000$ chiffres $7$ à la suite.



  • Je découvre ces problèmes avec plaisir , un grand merci à Cidrolin  :)
    Domi


  • Merci @Domi, mais c'est Leo Moser l'auteur.
    J'ai simplement et habilement regroupé les exercices contenant  :
    "contains 1000 consecutive 7's in its digital representation"
    Amicalement
    Edouard Cidrolin
  • marco
    Modifié (24 Apr)
    J'essaie de répondre à la question c).
    Soit $S_{b,c}$ la somme des inverses des nombres entiers ne contenant pas de $c$ dans leur écriture en base $b$. Soit $E_{b,c}$ l'ensemble de ces entiers.
    $\sum_{n \in E_{b,c} ~|~ b^k\leq n <b^{k+1}}\frac{1}{n} \leq \sum_{n \in E_{b,c} ~|~ b^k\leq n <b^{k+1}} \frac{1}{b^k} \leq \frac{(b-2)(b-1)^k}{b^k}$
    $\sum_{n \in E_{b,c}}\frac{1}{n} \leq \sum_{k \in \N} \frac{(b-2)(b-1)^k}{b^k}=(b-2)b$
    Donc $S_{b,c} \leq (b-2)b$.
    Soit $b=10^{1000}$, $n$ est un entier qui ne contient pas mille $7$ consécutifs ssi pour tout $k\in \{0,1, \ldots,999\}$,$10^kn  \in E_{b,c}$ où $c=\underbrace{777\cdots7}_{1000 \rm{fois}}$.
    Soit $D$ l'ensemble de ces entiers.
    Donc $n \in D $ implique $n \in E_{b,c}$
    Donc,
    $\sum_{n \in D}\frac{1}{n} \leq \sum_{n \in E_{b,c}} \frac{1}{n}  \leq S_{b,c}$



  • Chaurien
    Modifié (24 Apr)
    À propos de la série somme des inverses des entiers ne contenant pas tel chiffre, voir : Ross Honsberger, Mathematical Gems II, The MAA 1976, pp. 98-103, qui donne une bibliographie sur le sujet. Apparemment, la première référence est : A. J. Kempner, A curious convergent series, American Mathematical Monthly, 21 (1914) p. 48.
    J'ai vu passer un article d'une ancienne RMS sur le sujet, mais je n'arrive pas à le retrouver, et ça m'agace ! :/ .
  • À propos des chiffres par quoi débute l'écriture des puissances de $2$ dans une base, on peut s'intéresser, non seulement à l'existence de tel chiffre, mais aussi à la proportion des puissances de $2$ commençant par ce chiffre. Pour l'instant, j'ai trouvé ceci :
    Mais je crois me souvenir qu'i y a d'autres références sur la question, à rechercher...
  • samok
    Modifié (26 Apr)
    J'ai appris ce jour en comprenant la preuve de guego qu'une puissance de $2$ (dans $\mathbb{N}$) peut commencer par n'importe quelle séquence de chiffres décimaux.
    Ma journée est faite.

    Faudra tout de même que je me replonge dans les sous-groupes additifs de $\mathbb{R}$ et un théorème qui de mémoire est attribué à Hermann.

    Je me permets de faire mon mauvais joueur quant à l'énoncé initial de sieur Cidrolin digne d'une technique d'
    ˌäbfəˈskāSH(ə)n
    mais comme je l'aime, ça passe.
  • Chaurien
    Modifié (26 Apr)
    Probablement la référence de Cidrolin, c'est : Leo Moser, An Introduction to the Theory of Numbers, The Trillia Group, West Lafayette, IN 1957.
  • Y-a-t-il une réponse simple pour le b) ???
    A propos du c) j'ai mis la main sur l'article de Ross Honsberger donné par Chaurien , il annonce au passage que la somme des inverses des nombres premiers diverge ce qui est assez surprenant ( il ne fournit pas de démonstration mais donne une référence à un de ses livres ) .
    Domi
  • Chaurien
    Modifié (26 Apr)
    Le b) : « Montrer qu'il y a un nombre premier qui s'écrit avec mille chiffres sept consécutifs » signifie plus précisément : « montrer qu'il y a un nombre premier qui comporte mille chiffres sept consécutifs dans son écriture décimale ». Il me semble qu'on a répondu que c'est un simple corollaire du théorème de la progression arithmétique de Lejeune-Dirichlet, et qu'il existe une infinité de tels nombres premiers. Mais si au lieu de  mille chiffres sept on demandait mille chiffres $2$ ou mille chiffres $5$, pour la base de numération $10=2 \times 5$,  il faudrait juste une petite adaptation : mille chiffres $2$ (ou $5$)  consécutifs suivis du chiffre $1$.
    Mais ce que j'ignore, c'est si, pour une suite prescrite de chiffres, il existe un nombre premier dont l'écriture décimale commence par cette suite de chiffres.
  • En effet , j'étais passé par dessus l'indice donné par Cidrolin qui tue le problème .
    Domi
  • Bravo Cidrolin, il fallait penser à utiliser ce célèbre théorème.
  • Il reste le problème de la convergence de la somme des inverses des nombres premiers :)
    Domi 
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (28 Apr)
    @Guego : Jolie application de la densité.

    C'est une belle preuve : on utilise des propriétés topologiques pour résoudre un problème purement arithmétique au départ.
  • Pour la première question en partant du début ,

    je pensais, intuitivement que le théorème d'Hermann Weyl, sur la densité dans [0;1] de $n\theta -[n\theta]$  avec $\theta$ irrationnel, me suffirait pour conclure, mais dans ce cas je dois être maladroit car je n'y arrive pas.

    Je suis con ou quoi ?
  • samok a dit :
    Pour la première question en partant du début ,

    je pensais, intuitivement que le théorème d'Hermann Weyl, sur la densité dans [0;1] de $n\theta -[n\theta]$  avec $\theta$ irrationnel, me suffirait pour conclure, mais dans ce cas je dois être maladroit car je n'y arrive pas.
    Ça marche. C'est essentiellement la solution que j'ai donnée, en prenant $\theta = \dfrac{\ln(2)}{\ln(10)}$.
  • samok
    Modifié (29 Apr)
    Bonjour Guego,

    oui oui, cela marche, mon message faisait suite au votre dans lequel j'avais mis de côté la partie qualifiée de classique.

    - Bon, $\dfrac{\ln(2}{\ln(10)}$ est irrationnel, ça c'est de la pure arithmétique, l'unicité de la décomposition en facteur premiers fait le job.
    - Pour la densité, en utilisant le théorème de Weyl relatif à la densité dans $]0;1[$de la partie fractionnaire de $(n\theta)_{n \in \mathbb{N}}$ lorsque $\theta$ est irrationnel.
    soit $]a;b[$ un intervalle avec $b>a\geqslant 0$.
    On peut trouver $K \in \mathbb{N}$ tel que $]\dfrac{a}{K};\dfrac{b}{K}[ \subset [0;1[$,
    puis $N \in  \mathbb{N}$ tel que $N\theta -[N\theta] \in ]\dfrac{a}{K};\dfrac{b}{K}[$,
    au final $a<K.N\theta-K.[N\theta]<b$
    > $\{n\theta-k ; n,k \in \mathbb{N}\}$ est dense dans $\mathbb{R}^{+}$.
    Puis le $-k$ dans $(n\theta-k)_{n, k \in \mathbb{N}}$ permet de translater vers la gauche
    >> $\{n\theta-k ; n,k \in \mathbb{N}\}$ est dense dans $\mathbb{R}$.


    C'est bluffant !

    J'avoue que j'aimerais aller plus loin et savoir comment déterminer avec un algorithme "les $n$, $k$ tels que". 
    Il faut, j'imagine, une super précision pour $\theta$ mais sous quelle forme : fraction continue, développement divers (Sylvester, décimal ...) ? 















  • Merci Chaurien pour le lien  :)
    Sans doute classique mais surtout joli , je ne connaissais pas et je ne dois pas être le seul .
    Domi
  • Bonjour, j'avais pensé à une quatrième question sur ce thème 
    :
    d) On pose $A=\dfrac{10^{1000 }-1}{9}\quad $ et $\quad  u_n=\lfloor\dfrac{A(9n-7)+n-0,5}{9A}\rfloor$,

    quelle est la propriété de ces $u_n$ ?
  • jandri
    Modifié (1 Jun)
    Bonjour @Cidrolin,
    merci pour ce nouveau problème. Les $u_n$ prennent exactement une fois toutes les valeurs entières positives sauf 
    celles qui se terminent par 1000 fois le chiffre 7 en base 10.


  • Math Coss
    Modifié (1 Jun)
    Pour revenir tardivement sur la remarque de @Guego, si on évoque Weyl dans ces questions, on n'est pas loin de parler d'équirépartition, ce qui contient (au moins en germe) strictement plus que la densité du sous-groupe de $\R$ engendré par $1$ et un irrationnel $\alpha$ : c'est, si on veut, une version quantitative de la densité, à savoir une estimation asymptotique du temps passé par la suite $\bigl(\{n\alpha\}\bigr)_{n\in\N}$ dans tout intervalle de $[0,1]$.
    Pour revenir à la question de @samok – comment faire pour trouver une puissance de $2$ qui commence par un préfixe donné, cf. dans ce fil@GaBuZoMeu. Vu la taille des exposants qui apparaissent avec un préfixe d'une quinzaine de chiffres, je ne pense pas qu'on puisse trouver une puissance explicite qui commence par mille chiffres sept.
  • Merci Math Coss,

    je creuserai cela (il y a ceux qui ont un pistolet chargé et ceux qui creusent :) )
    Par ailleurs une lecture récente m'indique que ce qui m'était venu en premier, la densité du sous groupe de $(\mathbb{R};+)$, $\mathbb{Z}[\alpha]$ avec $\alpha$ irrationnel est suffisante pour conclure.


  • On peut généraliser la question d) de @Cidrolin en remplaçant "mille 7 consécutifs" par une suite de chiffres de longueur $c$ représentant l'entier $N$ en base $b$, on obtient alors : $u_n=\left\lfloor\dfrac{b^c n-N-0,5}{b^c-1}\right\rfloor$
  • La référence donnée par Chaurien pour la question c) est bien la première publiée sur ce sujet (d'où le nom de série de Kempner). Mais cette référence ne traite que le cas où l'on enlève tous les termes dont le dénominateur contient au moins une fois le chiffre 9. Pour le cas proposé ici, la première référence est Frank Irwin, A Curious Convergent Series, The American Mathematical Monthly, Vol. 23, No. 5 (May, 1916), pp. 149-152. On peut aussi consulter (pour le côté archéologique) A. J. Kempner, E. J. Moulton, 453, The American Mathematical Monthly, Vol. 23, No. 8 (Oct., 1916), pp. 302-303.



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