équivalence et intégration

@jellab_math

Pour démontrer la convergence de $\int \dfrac{\sin t}{\sqrt t}$, tu peux intégrer par parties.

Pour démontrer la divergence de $\int \dfrac{\sin^2 t}{t}$, tu peux comparer avec une série (divergente).

D'abord on peut raisonner sur $\int_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{\sqrt{x}+\sin x}dx$ et $\int_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx$ pour éviter tout souci provenant de la borne d'en bas. 

Ensuite, lemme : pour $m \neq 0$ et $\alpha >0$, les intégrales $\int_1^{+\infty }\frac {\sin mx}{x^{\alpha}}dx$ et $\int_1^{+\infty }\frac {\cos m x}{x^{\alpha}}dx$ sont convergentes Pour ce lemme, prouver la convergence de $\int_1^{+\infty }\frac {e^{imx}}{x^{\alpha}}dx$ au moyen d'une intégration par parties. 

Pour la divergence de $\int_1^{+\infty }\frac {\sin^2 x}x dx$ on peut utiliser la formule de trigo $\sin^2 x= \frac 12 (1-\cos 2x)$.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

@gebrane Vu qu'il faut des fonctions au signe changeant, les fonctions trigonométriques sont tout indiquées. Tout porte à penser que les autres contre-exemples seraient plus compliqués, alors à quoi bon ? Mais tu peux nous en fabriquer si tu veux y consacrer du temps. Une idée : on résout le même problème avec une série, le changement de signe venant d'un $(-1)^n$ au lieu d'un sinus, et on transforme la série en fonction. Cette fonction ne sera plus continue, mais qu'importe ?

@jellab_math Pas de « monsieur » entre nous . Je suis content que l'exemple te soit utile. On peut chercher d'autres exemples, et aussi pour les séries numériques.

Bonne journée.

Fr. Ch.