Une application de Taylor Lagrange

math65
math65
Modifié (April 2024) dans Analyse
Bonjour,
J'essaye de résoudre cet exercice. Pour 1), je vois bien qu'un polynôme de degré impair s'annule forcément donc la $|f^{n}(x)|$ s'annule en la même valeur et $f^{n}(x)$ aussi. Il manque à formaliser.

Pour 2), j'ai vu qu'il fallait utiliser la formule de Taylor-Young. mais je ne vois pas comment faire
Est-ce que quelqu'un a une indication?

Pour 3), si j'utilise le contre-exemple avec $P(X)=X^{2} + 1$ alors $f(x)=1$ ne vérifie pas la propriété du 2)
Merci.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Oui avec T_Lagrange pour tout x il existe c entre a et x tel que $$f(x)= truc \times f^{n+1}(c)$$ et tu tends le n vers l infini pour avoir $f(x)=0$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • JLapin
    JLapin
    Pour 2), j'ai vu qu'il fallait utiliser la formule de Taylor-Young. mais je ne vois pas comment faire

    Utilise plutôt l'inégalité de Taylor-Lagrange que la formule de Taylor-Young.

  • Bibix
    Bibix
    Bonjour,
    $P = (X^2+1)(X+i)$ est un polynôme de degré impair et avec $f = 1$, on a bien pour tout $x \in \R$, $f(x) = 1 \leq 1+x^2 \leq |P(x)|$ et $f^{(n)}(x) = 0$ pour tout $n \geq 1$ donc $f$ vérifie les hypothèses de l'énoncé mais n'est pas identiquement nulle. 
  • JLapin
    JLapin
    Oui, l'énoncé est incomplet. Il faut supposer que $P$ est un polynôme réel.
  • gebrane
    gebrane


    @Bibix, c'est ton interprétation de \( |.| \) comme le module qui rend l'exercice faux. De plus, le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique pas pour des fonctions à valeurs complexes.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Yanel
    Yanel
    je vois qu'il faut utiliser la formule de Taylor- Lagrange sur l intervalle (x,a)   jusqu'à l'ordre n< deg(P)-1 puis tu divises par (x-a)^n+1 et tu fais tendre x vers a   
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour yanel
    Je ne comprends pas explique
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • JLapin
    JLapin
    Pour ceux qui nous lisent dans le but d'obtenir une aide sur cet exo et qui ne sont pas aussi forts que Gebrane, qu'ils sachent que la méthode proposée par Yanel ne va pas fonctionner.
  • Yanel
    Yanel
    1. @gebrane
  • Yanel
    Yanel
    @JLapin vous avez raison ça ne marche pas 
  • JLapin
    JLapin
    C'est pas mal mais il y a quelques points à revoir (de détail). Par exemple, ton $c$ disparait mais comme il dépend de $p$ et que tu fais tendre $p$ vers l'infini, il faut en tenir compte et être plus rigoureux.
  • Yanel
    Yanel
    @gebrane @JLapin

  • JLapin
    JLapin
    C'est plutôt bien. Mais pourquoi ce $x\in \R_+$ à l'avant dernière ligne alors que tu as déjà un $x$ fixé dans $\R$ tout au long de ta preuve ? Il y a d'autres lettres dans l'alphabet...
  • Yanel
    Yanel
    J'adore ta précision,  . Il se peut que je suis un peu fatigué
  • zygomathique
    zygomathique
    salut

    une remarque cependant pour les limites : la flèche utilisée est $ \to$ et non pas $ \mapsto$ ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • gebrane
    gebrane
    Yanel, tu es Numbers one 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Yanel
    Yanel
    Merci cher gebrane 
  • math65
    math65
    Bonjour,
    je vous remercie pour ces informations.

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