Inégalité de Markov ?

Bonjour,
je cherche une preuve pour ce lemme. Ce serait simple avec un signe intégrale mais ce n'est pas le cas ...


Réponses

  • zygomathique
    Modifié (26 Apr)
    salut

    je note $ k = \dfrac 1 {\sqrt {2\pi}}$

    $P(Z > x) = k \int_x^{+\infty} e^{-\frac 1 2 t^2} dt = k e^{- \frac 1 2 x^2} \int_x^{+\infty} e^{- \frac 1 2 (t^2 - x^2)} dt $

    compare les fonctions $ t \mapsto exp[ -1/2 (t^2 - x^2)]$ et $ t \mapsto 1/t^2$ pour $ t\ge x$

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • D'accord, mais il manque l'exponentiel au majorant, non ?
  • j'ai modifié car j'avais fait trop d'erreurs ...  :'(

    à voir si maintenant ça marche ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Tu as essayé une étude de fonction ? Dérivation, etc.
  • tellement evident que je doute 
    $$P(Z>x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{+\infty}e^{-t^2/2}dt \leq\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}e^{-xt} \,dt=\frac{e^{-x^2/2}}{x\sqrt{2\pi}}$$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • NicoLeProf
    Modifié (26 Apr)
    Il me semble que cela fonctionne gebrane et c'est fort astucieux ! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Bbidule
    Modifié (27 Apr)
    Exercice connexe:
    Montrer que:
    $$\mathbb{P}(X>x)\underset{x\to +\infty}{\sim}\dfrac{e^{-x^2/2}}{x\sqrt{2\pi}}$$
    On peut même obtenir un développement asymptotique en $+\infty$ de la fonction $x\mapsto \mathbb{P}(S>x)$ (fonction dite d'antirépartion ou de survie de la loi normale centrée réduite) à n'importe quel ordre (exercice connexe bis).

    **rajout de /2 dans l'argument de exp suite au message de gebrane.
  • @bidule Il y a une faute dans ton équivalent !?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • plsryef
    Modifié (27 Apr)

    $ \int_{x}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=[-\frac{e^{\frac{-t^2}{2}}}{t}]_{x}^{+\infty}+\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{\frac{-t^2}{2}}}{t^2}dt$

    par intégration par parties.





  • Bonjour plsryef,  peux-tu continuer 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • $$ \int_{x}^{+\infty}\frac{e^{\frac{-t^2}{2}}}{t^{2n}}dt\prod_{k=0}^{n}(2k+1)=\frac{e^{\frac{-x^2}{2}}}{x^{2n+1}}\prod_{k=0}^{n}(2k+1)+\prod_{k=0}^{n+1}(2k+1)\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{\frac{-t^2}{2}}}{t^{2n+2}}dt $$ la relation précédente étant vraie pour n fixé, avec les propriétés des relations de comparaisons (qui justifient l’intégration par parties aussi), cela donne aussi $\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{\frac{-t^2}{2}}}{t^{2n+2}}dt=o(\frac{e^{\frac{-x^2}{2}}}{x^{2n+1}})$, et en cascade : $$ \int_{x}^{+\infty}e^{\frac{-t^2}{2}}dt= \sum_{j=0}^{n}\prod_{k=0}^{j}(2k+1)\frac{e^{\frac{-x^2}{2}}}{x^{2j+1}}+o(\frac{e^{\frac{-x^2}{2}}}{x^{2n+1}})$$


  • Intéressant  plsryef ,

    il y a une coquille dans ton intégration parties dans ce message.

    Ce qui fait un manque de $(-1)^j$ dans ta formule et il y a une autre coquille d'indexation

    Tu devrais tomber ( sauf erreur de ma part) par exemple sur  $$\int_{x}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = e^{-\frac{x^2}{2}} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^5} - \frac{15}{x^7}+ O\left(\frac{1}{x^7}\right) \right)$$ . 

    Le farceur  trouve $$\int_{x}^{+\infty}e^{\frac{-t^2}{2}}dt=e^{\frac{-x^2}{2}} \big[\frac 1x+\sum_{j=1}^{n} (-1)^j \prod_{k=0}^{j-1}(2k+1)\frac{1}{x^{2j+1}} \big]+o(\frac{e^{\frac{-x^2}{2}}}{x^{2n+1}})$$

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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