Valeurs des cosinus et sinus
Réponses
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Un triangle isocèle dont l'un des angles vaut 60 degrés est un triangle équilatéral. Tu pourrais poser cette question à tes élèves.
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Je ne comprends pas pourquoi le premier triangle est isocèle.
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Et tu enseignes en collège ? Pas les maths, j'espère !C'est une question pour élèves de cinquième ...
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Bonjour Oshine,
Tu as un triangle rectangle avec un angle de 45°.
Bonne journée,
Geodingus -
J'ai parlé trop vite pour le premier triangle c'est évident.
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Je ne comprends pas pourquoi le premier triangle est isocèle.C'était donc ça le problème.... Reconnaître un triangle isocèle de la forme $OMM'$ avec $M$ et $M'$ deux points d'un cercle de centre $O$...
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@OShine je n'ai pas pu résister à l'envie de te répondre. Comme les autres l'ont dit demande..., moi je suis élève aussi
. Je vais donc t'aider.
Dans un plan, la somme des angles d'un triangle est égale à $\pi \text{ rad}$. Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés ont des angles égaux. Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit de mesure $\dfrac{\pi}{2} \text{ rad}$. Donc, un triangle rectangle isocèle est un triangle qui a un angle droit et dont les angles des deux côtés sont supposés être égaux.Soient $\alpha, \beta, \lambda$ des angles quelconques d'un triangle. Dans un plan, on a $\alpha + \beta + \lambda = \pi$. Donc, dans un triangle rectangle en $\beta$, si je suppose que $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$, alors forcément j'aurai aussi $\lambda = \dfrac{\pi}{4}$.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Merci j'ai compris pourquoi le second est équilatéral.
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Mais O Shine a toujours refusé de revoir les cours de collège et lycée. Et enseignant depuis plusieurs années, il est incapable de reconnaître un exercice de cinquième sur les triangles, quand il est face à lui. Ou peut-être plus exactement, il n'utilise pas son intelligence, il demande tout de suite aux autres de penser à sa place (fainéantise crasse !) : "J'ai parlé trop vite pour le premier triangle c'est évident." Il faut croire que ce n'était pas si évident puisqu'il a posé la question.
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Tout fout le camp !
Juste une dernière question rhétorique : Comment démontre-t-on proprement au collège que le second triangle est isocèle ? -
@bd2017 dns un monde normal @OShine n'aurait pas eu le capes. Il aurait donc buché pour l'obtenir et aurait appris à répondre à ce genre de question tous seulMais dans notre monde on estime qu'un ingénieur en reconversion qui a mal pratiqué les maths en Sup et spectacle doit pouvoir obtenir le CAPES les doigts dans le nez.Ce n'est bien pour personne et certainement pas pour @OShine qui se fait rembarrer par tout le monde.
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Non, pas par tout le monde, mais par ceux qui ont essayé de l'aider à progresser et ont été découragés par sa mauvaise volonté (avec le travail qu'il a fait avant de passer le capes, il aurait pu être au niveau au concours, s'il n'avait pas été buté sur "je ne veux pas revoir les maths du lycée" - pourtant au programme du concours). Il n'a eu le concours que parce que cette année-là il n'y avait pas d'oral et que c'est un "bon reproducteur" (comme on dit dans mon Charolais).Cordialement.
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Pour le second triangle $O M_{\pi /6} M_{- \pi /6}$, on a $OM_{\pi /6}= OM_{- \pi /6}=1$ donc il est isocèle en $O$.
L'angle central est $\pi/6 + \pi /6 = \pi/3$ car la droite qui passe par $O$ est une bissectrice.
Donc les deux derniers angles valent $x$ avec $2x+ \pi /3 = \pi$ donc $2x=2 \pi /3$ soit $x= \pi/3$ donc il est équilatéral.
Par contre, j'ai fait un dessin et pour le dernier cas, je ne parviens pas à démontrer que $\cos( \pi / 3)=1/2$ et $\sin( \pi /3)= \sqrt{3} /2$.
J'arrive à voir avec un raisonnement analogue à ce qui précède pourquoi le triangle est équilatéral mais je n'arrive pas à calculer les cos et sin.
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Salut OS,
Sur une feuille, tu peux construire un triangle équilatéral à la règle non graduée et compas. Ensuite tu construis une hauteur = médiane = médiatrice = bissectrice de ce triangle (pourquoi d'ailleurs ?). On suppose que le triangle équilatéral de côté mesurant 1 (une unité). Et là tu dois être capable de calculer les cosinus et sinus des angles de 30° et 60°, non ?
Espérant que tu essayes cela.
Jean-éric
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Pour l'angle $\pi/3$, la hauteur issue de $M_{\pi/3}$ est également médiatrice de $[OM_0]$.
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Ok merci, je vois l'idée, je vais essayer de rédiger une réponse précise.
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BonjourEn résumé, OShine apprend par cœur des corrections d'exercices là où il faudrait réfléchir, et re-démontre les valeurs des sinus et cosinus usuels là où il suffit de les apprendre par cœur. Ce garçon m'étonnera toujours.
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Bonjour,ce qui me gêne le plus ici est le fait qu'OShine bloque sur des questions qui peuvent se résoudre au collège exclusivement.(Pourquoi ce phénomène aussi étrange? Manque de confiance en soi? Manque d'assurance/de recul? Je ne comprends pas, tout ceci est archi basique, bien plus que des calculs de polynômes caractéristiques, déterminants etc.).Sans parler de radians ni de cercle trigonométrique, il suffit de connaître les droites remarquables du triangle et leurs propriétés (notamment dans un triangle équilatéral), le théorème de Pythagore et la trigonométrie de 3ème.Exemple d'exercice que je pourrais donner à mes 3èmes au prochain gros contrôle (j'ai presque envie de le faire car je suis diabolique
mais c'est pour leur bien : pour essayer de limiter les dégâts en seconde générale lol ) : On considère la figure ci-dessous dans laquelle le triangle $ABC$ est équilatéral et $D$ est le pied de la perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par le point $C$.On sait que $AC=1$ (unité arbitraire).
1) Justifier que $\widehat{CAD}=60 ^\circ$.2) a) Que représente la droite $(CD)$ pour le triangle $ABC$ puis pour le segment $[AB]$? Justifier.b) En déduire la longueur $AD$. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.3) Déduire des questions précédentes que $\cos(60 ^\circ)=\dfrac{1}{2}$.4) Calculer la longueur $CD$. Donner la valeur exacte.5) En déduire que $\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt 3}{2}$.(Quelques rappels seraient nécessaires pour garantir une réussite aux trois premières questions car ce sont des notions de début de collège (5ème). Ensuite, la question 3 est facile : c'est une application directe de la trigonométrie de 3ème. La question 4 est facile sauf peut-être la compréhension de ce qu'est une "valeur exacte" et enfin, la 5 est un peu plus délicate car il faut faire le lien avec ce qui précède).P.S : c'est pour ça que je continue à adorer enseigner au collège et que je ne veux pas aller au lycée. On peut déjà faire des choses sympathiques y compris quelques démonstrations mais également faire du ludique avec des élèves sans doute plus motivés, plus mignons, plus spontanés qu'au lycée !
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
@Bibix Pas sûr de comprendre la question rhétorique! On ne démontre pas, on rappelle seulement la définition d'un cercle. On peut démontrer en revanche qu'il est équilatéral en disant que les angles en M et M' sont égaux, puis qu'ils valent 120° à eux deux, puis 60° chacun, puis qu'un triangle ayant 3 angles de 60° est équilatéral. Cours de 5e pour faire tout ça.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
C’est bien cette micro discussion. On passe de « comment on fait ? » à « c’est évident ». Que tous les pédagogues ou rédacteurs de documents et autres livres s’interdisent « trivial », « évident » etc.
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J'ai réussi à montrer le troisième point.
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Encore un voeu pieux ?« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
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@OShine tu pourras maintenant donner l'exercice à tes collégiens : calcul de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1 en utilisant Pythagore, ils devraient trouver $ \frac{\sqrt{3}}{2}$...
Ensuite ils peuvent calculer les valeurs exactes de cos(60) et sin(60) dans le triangle rectangle formé par la hauteur et pour lequel ils ont les 3 côtés : 1 ; $ \frac{1}{2}$ et $ \frac{\sqrt{3}}{2}$
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Aïe. Il nous a dessiné l'angle $\frac \pi 3$ comme si c'était $\frac \pi 6$ en tout cas inférieur à $\frac \pi 4 =45°$. Moi, ça me choque.
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Attention : ce n’est pas si simple d’obtenir ce $\sqrt{3}/2$. Une fois la peau de banane des fractions à soustraire après avoir calculé leurs carrés, et avec en plus l’épineuse question d’écrire $1$ en fraction de dénominateur $4$, il n’y a plus de cours sur les racines carrées, notamment pour simplifier $\sqrt{3/4}$.On n’est plus dans les années 2000-2010, la réforme de V.-B. (2016) est passée par là car « on n’arrivait pas à faire faire ces exercices à tous les élèves ».
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Et n'a pas justifié que le triangle en question est équilatéral.
Et comme tu dis, faut vraiment le vouloir pour faire un quart de cercle aussi déformé.
Bref, la justification manque dès le début.
À mon époque c'était 0 point donné pour une telle réponse non justifiée dès le début.
Ce qui m'avait permis d'ailleurs, d'apprendre ou plutôt me clarifier, ce qu'est une démonstration correcte telle qu'on l'attendait de ma part et des élèves.« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ». -
Oui je suis d’accord. C’était juste pour dire que ça ne va pas venir d’eux-mêmes.Cela dit, les calculatrices fournissent le résultat souhaité.
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Une petite astuce @OShine pour faire un meilleur schéma à la main : faire d'abord le cercle puis le repère. Dans l'autre sens, si on fait d'abord le repère, il est plus difficile de faire un "beau" cercle après.
Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$ -
Oui mon dessin est hideux.
Je ne sais pas faire de beaux dessins à main levée. -
Bon bon, alors pourquoi le premier triangle est isocèle et pourquoi le second est équilatéral ?
Il n'y a pas de raison de bâcler la justification sur ce point, il faut juste au moins un petit commentaire pour montrer qu'on a compris. À la charge de l'élève de se débrouiller pour trouver comment. On ne doit pas pouvoir accuser sa réponse d'éluder un tel point important avec un commentaire du style « c'est évident ».
Mais, on peut choisir la justification qu'on veut, du moment où ce n'est pas une erreur non plus, bien sûr...« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ». -
Dans ma solution donnée sur papier, il manque la justification pourquoi $OM_0 M_{\pi /3}$ est équilatéral.
On a $OM_{\pi /3}= OM_0=1$ donc le triangle $OM_0 M_{\pi /3}$ est isocèle en $O$.
Puis en utilisant la somme des angles d'un triangle qui fait $\pi$, on trouve que tous les angles mesurent $\pi /3$ donc le triangle $OM_0 M_{\pi /3}$ est équilatéral. -
Je croyais que le niveau baissait à cause de l'hétérogénéité des classes.Dom a dit :Attention : ce n’est pas si simple d’obtenir ce $\sqrt{3}/2$. Une fois la peau de banane des fractions à soustraire après avoir calculé leurs carrés, et avec en plus l’épineuse question d’écrire $1$ en fraction de dénominateur $4$, il n’y a plus de cours sur les racines carrées, notamment pour simplifier $\sqrt{3/4}$.On n’est plus dans les années 2000-2010, la réforme de V.-B. (2016) est passée par là car « on n’arrivait pas à faire faire ces exercices à tous les élèves ». -
La phrase de l’inspecteur le dit (si c’est bien une relation de cause à effet…).« On n’arrive pas à cause de l’hétérogénéité DONC on arrête de faire √ab=√a√b ».De quelle hétérogénéité parle-t-il ? Au sein de la même classe ? Selon les établissements ?Je ne sais pas.
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@Dom si l’inspecteur le dit.
et donc dans des classes homogènes on va pouvoir refaire
les racines carrées
les trois identités remarquables
les inéquations
les systèmes d’équations
la relation de Chasles
Triangle rectangle et cercles
Droites des milieux
Tout cela dans les trois groupes puisqu’ils ont le même programme?
Sinon pour etre concret dans mon college REP
je fais faire le calcul de la hauteur d’un équilatéral
la construction à la regle et au compas d’un pentagone régulier
La mesure d’un cosinus et d’un sinus sur le cercle trigonometrique
Les relations sin cos tan.
En inspection j’ai démontré le théorème de Pythagore avec des triangles egaux. et je n’ai pas souffert. Bien au contraire
Qui m’en empêche ? L’hétérogénéité ? Certainement pas.
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Aucun problème avec ça. Si tu savais ce que les profs savent faire, c’est incommensurable. Par compte, ce que les élèves savent faire… ça va moins haut (et c’est normal). C’est comme ceux qui disent qu’ils finissent le programme. Oui, les profs finissent le programme. Mais les élèves, là encore, c’est plus délicat à dire qu’ils ont « fini » le programme.
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Les élèves ont été confronté à tout les éléments du programme, grosso modo oui.
Les élèves ont une maîtrise relative de tout les éléments du programme, hum...Il y avait un post se demandant pourquoi les jeunes ne venaient pas sur ce forum.
Et bien, étant moins jeune, un message intéressant pour 10 insultants ou méprisants (la spécialité locale étant les insinuations sans nommer la personne ni, oh grand jamais, s'abaisser à argumenter) ne me suffit pas à y rester.
Merci de m'avoir rendu les mathématiciens antipathiques. -
Ils ne faut pas exagérer je suis dans un mauvais collège dans une mauvaise académie et mes meilleurs élèves ont vu en fin de troisième tout le programme et savent tout faire (à l’exception de scratch)
Ils voient même un peu plus.
J’y mets un point d’honneur. Je ne plante pas mes bons élèves.
Cela concerne 10% de nos élèves
Les autres… ils ont aussi tout vu avec une acquisition réelle variable.
Enfin pour ce qui nous occupe ici c’est réalisable en 3e -
OShine a dit :
On a $OM_{\pi /3}= OM_0=1$ donc le triangle $OM_0 M_{\pi /3}$ est isocèle en $O$.
Puis en utilisant la somme des angles d'un triangle qui fait $\pi$, on trouve que tous les angles mesurent $\pi /3$ donc le triangle $OM_0 M_{\pi /3}$ est équilatéral.
En fait, il faut comprendre que :
1. tous les cotés d'un triangle sont égaux si et seulement si ses 3 angles sont égaux.
Ou alors
2. tous les cotés d'un triangle sont égaux si et seulement si il est isocèle et l'angle au sommet vaut 60°.
Ou alors
3. tous les cotés d'un triangle sont égaux si et seulement si il est isocèle et qu'un des deux angles opposés vaut 60°.
Ou alors
...
Il ne s'agit pas d'apprendre ça par coeur, mais de le retrouver rapidement en refléchissant un peu avec les données du problème.
Comme on le voit il y a au moins trois façons de le démontrer, et réussir à dire quelque chose de juste montre donc qu'on ne le dit pas au hasard et qu'on a compris.
Et pour le coup, dans ta réponse je ne vois pas que tu ais utilisé un de ces théorèmes.
On y trouve que tu parles de triangles isocèles et d'angles égaux, ça ressemble à un des trois théorèmes ci-dessus mais bizzarement, ce n'est pas exactement pareil.
Ce n'est pas donc une réponse utilisant une propriété habituelle d'un triangle équilatéral et elle sera dans le cadre de la discussion, pédagogiquement retoquée.
Tu devrais plutôt commencer à t'amuser à démontrer l'une des trois propriétés que j'ai énumérée.« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ». -
Globalement, les élèves ont le niveau de leur collège (s’ils y ont fait les quatre ans). Évidemment, il existe toujours un gamin qui brille dans son école, son collège et malgré tout… parfois encore dans son lycée malgré le choc du lycée où le voisin a fait sa scolarité école+collège dans une ville moins sinistrée. Oui ça existe. Mais les statistiques sont têtues.Dans l’académie de Versailles, il est possible de voir « la plus value » de chaque établissement au regard de ses années après le collège, avec les orientations etc.
Comment faire ? Hum… l’un des sites avec un prénom bien ou mal orthographié « cariina », « arianne », je ne sais plus bien. -
L'exercice de NicoLeProf pose de gros problèmes à beaucoup d'élèves de première. Certains ne sont pas capables de trouver la distance CD en raison d'une utilisation erronée du théorème de Pythagore. Pour ces élèves, CD est l'hypoténuse du triangle ACD. Je vous laisse imaginer ce qui se passe lorsque le triangle ABC a pour côté a et qu'il est demandé d'exprimer CD en fonction de a. N'oublions pas non plus ceux pour qui ne connaissent même pas le théorème de Pythagore et qui écrivent que AC=AD+CD.Dom a dit :Attention : ce n’est pas si simple d’obtenir ce $\sqrt{3}/2$. Une fois la peau de banane des fractions à soustraire après avoir calculé leurs carrés, et avec en plus l’épineuse question d’écrire $1$ en fraction de dénominateur $4$, il n’y a plus de cours sur les racines carrées, notamment pour simplifier $\sqrt{3/4}$.On n’est plus dans les années 2000-2010, la réforme de V.-B. (2016) est passée par là car « on n’arrivait pas à faire faire ces exercices à tous les élèves ».
Pour la simplification des racines carrées, les élèves de première sont en majorité incapables de les faire. C'est comme si le cours de seconde sur les racines carrées n'avait jamais été abordé. Par exemple, de nombreux élèves ne savent pas détailler les étapes pour exprimer $\sqrt {\dfrac{7}{3}}$ sous forme d'un quotient avec dénominateur rationnel. Ils utilisent la calculatrice et quand on leur demande de justifier proprement le $\dfrac{\sqrt {21}}{3}$ qui apparait sur l'écran, il en sont incapables.
Le chapitre sur le cercle trigonométrique tourne vite au désastre et l'utilisation de l'égalité $\cos^2 x+\sin^2 x=1$
pose de gros problèmes. Trouver $\cos x$ sachant que $\sin x= \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{\pi}{2} <x<\pi$ est vraiment difficile pour beaucoup d'élèves même après avoir traité plusieurs exemples. Bien sûr, trop d'élèves ne fournissent pas le travail personnel nécessaire et dans ce contexte, aucun miracle n'est possible. -
poliakov, je te remercie pour ton témoignage ! Mais je suis étonné que cet exercice pose autant de difficultés à des élèves de première !Pour l'utilisation des racines carrées, ce que j'attendais en rédigeant l'exercice (pour des élèves de 3ème) est simplement l'utilisation de la calculatrice tout en sachant ce que signifie l'expression "valeur exacte" que l'on travaille en classe. Les élèves se contenteront d'écrire à la fin de leur raisonnement : $CD^2=\dfrac{3}{4}$ (ou $0,75$) et $CD=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt 3}{2}$ (ou $CD=\sqrt{0,75}=\dfrac{\sqrt 3}{2}$) puis une phrase de conclusion.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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Une remarque presque sarcastique :
jadis des profs de lycée disaient « mais ils foutent quoi au collège ? les élèves ne maîtrisent pas les racines carrées ». Et ce « ils » désignait sans équivoque les profs dudit collège [et non les élèves]. Désormais, ils matraquent un peu moins les profs de 2nde dont ils font peut-être partie. -
J'ai bien revu la trigonométrie.
Mais j'ai l'impression qu'il y a une erreur ici non ?
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Oui, l'inéquation n'est pas la bonne...
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