Coefficient binomial
Réponses
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$\binom{n}{n-p} = \binom{n}{p}$ what else ?
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Ah d'accord merci, si $p<0$ alors $-p>0$ et $n-p=n+(-p) >n$ donc le coefficient binomial est nul.
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Bonjour,
Dans quel cas un tel coefficient binomial (p < 0) a-t-il un sens, ou est-il utilisé ?
Dans mon esprit c'est eminemment combinatoire, y compris dans la formule du binôme où ça dénombre les produits de même forme. Quel est le sens d'un ensemble ayant un cardinal négatif, ou dans quels calculs a-t-on "besoin" de cette convention?
s. -
Si tu veux étendre la propriété sommatoire à un tableau infini, tu n’as d’autre choix que celui-là.
The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
SMI a dit :Bonjour,
Dans quel cas un tel coefficient binomial (p < 0) a-t-il un sens, ou est-il utilisé ?
$$\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}\binom{m}{\ell - k} = \binom{n+m}{\ell}$$
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Cela permet d'énoncer la formule d'addition sans restriction, ce qui revient essentiellement à la réponse de @nicolas.patrois
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Cela permet de simplifier beaucoup de calculs en s'évitant de regarder attentivement les bornes dans les sommes. Par exemple si on exprime le nombre de Fibonacci $F_{n+1}$ comme somme des ceofficients binomiaux $\binom{n-k}{k}$, on n'a pas besoin de regarder où varie $k$.
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À mon avis, la généralisation utile des coefficients binomiaux, c'est pour $x\in \mathbb{R}$ (ou $x\in \mathbb{C}$) et $p\in \mathbb{N}$ :$\binom{x}{p}=\frac{1}{p!}x(x-1)...(x-p+1)$ pour $p>0$ et $\binom{x}{0}=1$.Je ne connais pas de généralisation utile qui ne conserve pas $p\in \mathbb{N}$.Avec cette généralisation, la plupart des formules habituelles sont vérifiées, notamment la formule de Vandermonde, pour tout $x\in \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$), tout $y\in \mathbb{R}$ (ou $ \mathbb{C}$) et tout $p\in \mathbb{N}$ : $\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}\binom{x}{k}\binom{y}{p-k}=\binom{x+y}{p}$. Si $x$ ou $y$ est un entier naturel, certains termes de cette somme peuvent être nuls, peut-être même tous, mais ce n'est pas grave, le zéro existe...Alors que si l'on ne définit $\binom{x}{p}$ que pour $x\in \mathbb{N}$, $p\in \mathbb{N}$, $ x\ge p$, l'énoncé de cette formule devient pénible.Bonne journée.Fr. Ch.
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Remarque. Avec la généralisation que j'ai dite, si $n \in \mathbb N$ (et toujours $p \in \mathbb N$), le nombre $\binom{n}{p}$ est toujours le nombre de $p$-parties d'un $n$-ensemble, même si $n<p$, car alors la formule donne $\binom{n}{p}=0$, et justement dans ce cas, de telles $p$-parties, il n'y en a pas, et quand il n'y a pas de quelque chose, c'est qu'il y en a $0$.
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Pour autant qu'il m'en souvienne, les élèves aiment bien la formule $\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ qui n'est pas sans intérêt, mais qui est moins générale, car son domaine de validité est seulement : $n \in \mathbb N$, $p \in \mathbb N$, $n \ge p$.Avec la meilleurs volonté, on ne peut définir $n!$ pour $n \in \mathbb Z$, $n<0$. Essayez et vous verrez...
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Et avec la fonction gamma ?
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-- Harris, Sidney J. -
@nicolas.patrois Au départ la fonction $\Gamma $ se définit sur $\mathbb R_+^* $ par : $x\mapsto \Gamma (x)=\int_{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt$ et peut se prolonger à $\mathbb R$ et $\mathbb C$, mais SAUF pour les entiers $ \le 0$ : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma.La raison est simple. La fonction Gamma satisfait à la relation : $\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)$, qui permet déjà dans un premier temps de l'étendre aux réels négatifs. À partir de la définition précédente, par exemple pour $x:=-\frac 12$ : $\Gamma (\frac 12)=-\frac 12 \Gamma (-\frac 12) $ qui donne : $\Gamma (-\frac 12)=-2 \Gamma (\frac 12) $ par définition, etc.$~~$Extension aux réels négatifs, mais pas forcément tous. $~~~~$Si l'on cherche déjà à définir $\Gamma (0)$ par ce moyen, on fait $x:=0$ dans $\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)$, ce qui donne : $\Gamma(1)=0 \times \Gamma(0)$. Comme $\Gamma(1)=1$, on voit bien que c'est impossible. Et de même pour les entiers négatifs.Je saisis l'occasion de souligner que je regrette que mon cher Legendre a cru bon d'adopter cette définition de la fonction $\Gamma$, alors qu'il était plus naturel de définir une fonction $x!=\Pi(x)=\int_{0}^{+\infty }t^x e^{-t}dt$, qui généralise la factorielle sans ce malencontreux décalage de $1$. C'est Gauss qui a proposé cette fonction $\Pi$, il avait raison, mais ça n'a pas pris.
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Ce n'est pas un malheureux décalage de $-1$, c'est une mesure invariante sur le groupe $\R^{+*}$.
Des situations où il est commode de definir un coefficient binomial pour un entier négatif ? J'en ai donné une, il y en a un bon peu dans "generatingfunctionology" mais comme ce n'est pas le livre de Comtet, ça ne compte pas. -
merci à tous pour ces différents éclairage
s. -
Avec la généralisation que j'ai dite, on a sans mal la formule de Pascal : $\binom{x}{p}+\binom{x}{p+1}=\binom{x+1}{p+1}$ pour tout $x \in \mathbb C$ et tout $x \in \mathbb N$.Avec cette formule, on démontre en une ligne, par récurrence, la belle identité qui relie les coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci : $\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\binom{n-k}{k}=F_{n+1}$. C'est un bon exemple d'utilité de la présentation que j'ai indiquée, car si l'on se cantonnait aux termes non nuls, cette identité prendrait la forme : $\underset{k=0}{\overset{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }{\sum }}\binom{n-k}{k}=F_{n+1}$ et sous cette forme elle serait un peu plus longue à démontrer.La généralisation aux $\binom{x}{p}$ avec $p$ entier négatif est donc sans intérêt dans cette question, et elle me semble d'aucune utilité nulle part, pardon si je suis en désaccord avec M. Wilf.
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Un autre lien entre le triangle de Pascal et Fibonacci :
1
1 1
1 1 1
1 2 1 1
1 2 3 1 1
1 3 3 4 1 1
1 3 6 4 5 1 1
1 4 6 10 5 6 1 1
. . . . .
la colonne p est la colonne p du triangle de Pascal,
mais chaque nombre est écrit deux fois.
Faire la somme des termes d’une ligne.
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Il s'agit de montrer que \[\sum_{k=0}^n\binom{\left\lfloor\frac{n+k}2\right\rfloor}{k}=F_{n+2}.\] On coupe la somme en deux selon que la parité de $k$ est ou n'est pas la même que celle de $n$. Autrement dit on écrit $k=n-2i$ ou $k=n-2j-1$ avec $i$ et $j$ variant... eh bien, où ils veulent, disons dans $\N$ pour simplifier grâce à la convention honnie. D'une part, si $k=n-2i$, $\left\lfloor\frac{n+k}2\right\rfloor=n-i$ et \[\sum_{k\equiv n\pmod2}\binom{\left\lfloor\frac{n+k}2\right\rfloor}{k}=\sum_{i}\binom{n-i}{n-2i}=\sum_{i}\binom{n-i}{i}=F_{n+1}\] et on montre de même que l'autre somme vaut $F_n$. Merci pour l'exemple !
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Oui, @Math Coss, merci pour cette identité, que je ne connaissais pas. Avec les identités binomiales et/ou fibonacciennes, on remplit des livres.
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Ce n'est pas moi qu'il faut remercier, c'est @Cidrolin bien sûr – je n'ai fait que traduire en formule sa jolie présentation de l'identité. Illustration...
sage: M = Matrix(15,15,lambda i,j: binomial(floor((i+j)/2),j)) sage: M, Matrix(15,1,map(add,M)) ( [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] [ 1] [ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] [ 2] [ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] [ 3] [ 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] [ 5] [ 1 2 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] [ 8] [ 1 3 3 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0] [ 13] [ 1 3 6 4 5 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0] [ 21] [ 1 4 6 10 5 6 1 1 0 0 0 0 0 0 0] [ 34] [ 1 4 10 10 15 6 7 1 1 0 0 0 0 0 0] [ 55] [ 1 5 10 20 15 21 7 8 1 1 0 0 0 0 0] [ 89] [ 1 5 15 20 35 21 28 8 9 1 1 0 0 0 0] [144] [ 1 6 15 35 35 56 28 36 9 10 1 1 0 0 0] [233] [ 1 6 21 35 70 56 84 36 45 10 11 1 1 0 0] [377] [ 1 7 21 56 70 126 84 120 45 55 11 12 1 1 0] [610] [ 1 7 28 56 126 126 210 120 165 55 66 12 13 1 1], [987] )
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Pardon à @OShine pour la déviation du fil.
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On y voit que GaBuZoMeu utilise la convention honnie sans trop de scrupules...Pour une humptième intervention sur ladite convention, deux éléments. D'une part, il est évident que la définition de $\binom{a}k$ comme un polynôme en $a$ est très utile/pertinente : on retrouve le développement de $(1+x)^a$ pour $a$ quelconque, cela donne une base des polynômes à valeurs entières sur $\Z$ et tout un tas d'autres choses (je me rappelle avoir vu utiliser la formule $\binom{-1}{n}=-1$ en théorie des graphes, je ne sais plus pourquoi).Il n'empêche que dans des contextes particuliers il est bien commode de prolonger les coefficients binomiaux $\binom{n}k$ par $0$ hors du domaine où l'on peut les calculer avec les factorielles, y compris lorsque $k<0$. Ne serait-ce que pour donner une validité inconditionnelle à la relation de Pascal $\binom{n}k=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k$... Ou par cohérence : on aurait $\binom{n}{n+1}=0$ mais pas $\binom{n}{n+1}=\binom{n}{n-(n+1)}$ ?
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En ce qui concerne la fonction $\Gamma$, j'ai quelque scrupule à pousser la critique contre mon cher Legendre, mais je voudrais simplement y voir plus clair. J'ai lu pas mal de choses à propos de la fonction $\Gamma$, et je n'ai jamais vu de mention d'une « mesure invariante » à ce sujet. Ce n'est pas un argument, et @Math Coss peut bien le voir ainsi, avec originalité. Moi, je ne comprends pas le lien avec une « mesure invariante », je ne vois pas quelle est la mesure et ce qui est invariant, mais il faut dire que je ne suis pas familier de ces questions.En tout cas, ce n'était certainement pas le souci de Legendre quand il a défini sa fonction $\Gamma$. Il me semble que le souci était d'interpoler la factorielle par une fonction de variable réelle qui ait de bonnes propriétés de régularité. Et je ne suis pas seul à me poser la question, puisque Gauss a introduit la fonction $x!=\Pi(x)=\int_{0}^{+\infty }t^x e^{-t}dt$. J'ai vu la question posée plusieurs fois.Par exemple dans : Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Press 1974, p. 8 : « Legendre subsequently introduced the notation $\Gamma(s)$ for $\Pi(s-1)$. Legendre's reasons for considering $(n-1)! $ instead of $n!$ are obscure (perhaps he felt it was more natural to have the first pole occur at $s=0$ rather than $s=-1$) (...). Gauss's original notation appears to me to be much more narural and Riemann's use of it gives me a welcome opportunity to reintroduce it ».Traduction : « Legendre a ensuite introduit la notation $\Gamma(s)$ pour $\Pi(s-1)$. Les raisons pour lesquelles Legendre a considéré $(n-1) ! $ au lieu de $n!$ sont obscures (peut-être pensait-il qu'il était plus naturel que le premier pôle se produise à $s=0$ plutôt qu'à $s=-1$) (...). La notation originale de Gauss me semble beaucoup plus naturelle et l'utilisation qu'en fait Riemann me donne l'occasion de la réintroduire . ».J'ai trouvé tout un article sur la question : https://imsc.uni-graz.at/gronau/TMCS_1_2003.pdfEn considérant toute la littérature sur la fonction $\Gamma$ depuis deux siècles, il ne me semble pas possible aujourd'hui de la remplacer par $\Pi$.Bonne journée.Fr. Ch.
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Merci à @Cidrolin de nous avoir rappelé son tableau de 2009.
Une autre façon de calculer $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{\left\lfloor\frac{n+k}2\right\rfloor}{k}$ :
calculer $S_0$ et $S_1$ puis utiliser la relation de Pascal (pour $n\geq2$), $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{\left\lfloor\frac{n+k-2}2\right\rfloor}{k}+\sum_{k=1}^n\binom{\left\lfloor\frac{n+k-2}2\right\rfloor}{k-1}=S_{n-2}+S_{n-1}$
Voici une autre propriété de la suite de Fibonacci : $F_{n+3}=1+\displaystyle\sum_{0\leq i\leq j\leq \left\lfloor n/2\right\rfloor}\binom{n-j}{i}$.
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J'explique ce que je voulais dire par « mesure invariante ». On se donne un corps $K$. Il y a deux groupes sous-jacents, $(K,+)$ et $(K^*,\cdot)$. Une mesure invariante pour le premier (resp. le second), c'est une mesure $\mu$ telle que $\mu(A+x)=\mu(A)$ (resp. $\mu(xA)=\mu(A)$) pour $A$ mesurable et $x$ dans le groupe.Pour $K=\R$, cela donne la mesure de Lebesgue $\newcommand{\dt}{\mathrm{d}t}\dt$ et pour $\R^*$, on obtient $\dt/t$. En effet, pour $A$ raisonnable, les changements de variables $u=t+a$ (si $a\in\R$) et $u=at$ (si $a\in\R^*$) donnent respectivement \[\int_{A+a}\mathrm{d}u=\int_A\dt\quad\text{et}\quad\int_{aA}\frac{\mathrm{d}u}u=\int_A\frac{\dt}t.\]On choisit la mesure invariante sur $K^*$, c'est-à-dire $\dt/t$ sur $\R^*$. Et en fait on se restreint à $\R^{+*}$, ce qui semble relativement innocent.Pour $\newcommand{\F}{\mathbf{F}}K=\F_p$ avec $p$ premier, de bonnes mesures invariantes sont les mesures de comptage : $\mu(A)=|A|$ pour $A\subset\F_p$ comme pour $A\subset\F_p^*$. On choisit celle sur $\F_p^*$, que l'on prolonge à $\F_p$ en posant $\mu\bigl(\{0\}\bigr)=0$. Intégrer une fonction $f:\F_p\to\C$, c'est juste calculer la somme des valeurs. Comme on choisit la mesure de comptage sur $\F_p^*$, l'intégrale est la somme des valeurs en $x\ne0$.Ensuite, on se donne un caractère additif $\psi:K\to\C^*$, c'est-à-dire une fonction (continue) telle que $\psi(t+u)=\psi(t)\psi(u)$. Pour $K=\R$, on prend $\psi\colon t\mapsto\exp(-t)$. Pour $K=\F_p$, on prend $\psi\colon t\mapsto \exp(\mathrm{i}2\pi t/p)$ (en réalisant $\F_p$ comme $\Z/p\Z$).Enfin, on regarde les caractères multiplicatifs $\chi\colon K^*\to\C^*$, c'est-à-dire les fonctions (continues) telles que $\chi(tu)=\chi(t)\chi(u)$ pour tous $t,u\in K^*$. Pour $K=\R$ on ne prend guère en compte que les caractères à valeurs dans $\R^{+*}$, c'est-à-dire les $\chi_x\colon t\mapsto t^x$ avec $x\in\R^{+*}$ (sans frais supplémentaires on pourrait prendre $x\in\C$, $\mathrm{Re}(x)>0$ pour avoir quelque chose d'intégrable). Pour $K=\F_p$, il est intéressant de prendre par exemple le caractère quadratique, c'est-à-dire le symbole de Legendre (qui ne s'est donc pas toujours trompé...) $\chi_c=\bigl(\frac?p\bigr)\colon\F_p\to\C^*$ qui à $t$ associe $1$, $-1$ ou $0$ selon que $t$ est un carré non nul, que $t$ n'est pas carré mais est non nul ou que $t$ vaut zéro. D'autres sont intéressants. Dans tous les cas on prolonge $\chi$ à $\F_p$ en posant $\chi(0)=0$.Et maintenant ? On intègre $\chi\psi$. Dans les deux exemples déjà évoqués on obtient \begin{align*}\Gamma(x)=G(\chi_x)=&=\int_0^{+\infty}t^x\mathrm{e}^{-t}\frac{\mathrm{d}t}{t}\;;\\ G(\chi,\psi)&=\sum_{t\in\F_p}\chi(t)\psi(t).\end{align*}Autrement dit, la fonction gamma et les sommes de Gauss relèvent de la même construction (et à ce titre, il est naturel de voir apparaître $t^x$ et $\mathrm{d}t/t$) !Edit : pinaillages (ajout du prolongement de $\chi$ par $0$ en $0$ et de « $G(\chi_x)$ »).
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Merci @Math Coss d'avoir ainsi détaillé la question de la définition de la fonction $\Gamma$. C'est la première fois que je vois la fonction $\Gamma$ ainsi présentée.Je n'ai jamais dit que Legendre s'était trompé, j'ai une grande admiration pour ce mathématicien, sur qui j'avais fait un exposé au séminaire « Philosophie et mathématiques » Loi-Dieudonné-Thom, à l'ENS-Ulm, il y a longtemps. Je me suis toujours demandé pourquoi ses œuvres n'ont pas été publiées ensemble, comme on a fait pour bien d'autres mathématiciens : Cauchy, Lagrange, Laplace, etc.Simplement je cherchais des éclaircissements sur un point. Encore merci.
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Je ne vois pas pourquoi polémiquer à propos de $\binom np$ pour $p<0$. Je ne « honnis » rien du tout. Simplement je n'ai jamais eu besoin de définir $\binom np$ pour $p<0$. Il paraît que c'est $0$ et ma foi je ne vois pas ce que ça apporte, alors je le dis aux étudiants qui nous lisent. Mais ceux qui aiment ça, qu'ils en reprennent.
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Combien de parties à p éléments dans un ensemble de n éléments avec p strictement négatif ? Zéro.
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@philou22 Pardon, mais j'ai toujours appris, et enseigné, que le nombre d'éléments d'un ensemble fini, c'est un cardinal fini, autrement dit un entier naturel. Alors, des « parties à $p$ éléments (...) avec $p$ strictement négatif », je ne vois pas bien ce que ça peut être, quelque chose comme un cercle carré peut-être ? J'aimerais bien avoir leur définition, à placer dans le fil « blagues mathématiques ».
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Le cardinal de l’ensemble vide est 0 il me semble. L’ensemble des parties d’un ensemble à n éléments vérifiant avoir pour cardinal -1 est vide car comme tu le rappelles un cardinal est un entier naturel. Ce n’est pas parce que le carré de tout réel est positif qu’il n’y a pas de sens à considérer l’ensemble des réels de carré strictement négatif qui est effectivement vide. Quand au cercle carré, peut-être celui de rayon zéro ;-)
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Alors avec cet argument pourquoi se priver d'aller plus loin : posons $\binom xy:=0$ pour tout $x \in \mathbb C$ et tout $y \in \mathbb C$ \ $\mathbb N$. Il restera à voir quelle est au juste l'utilité d'une telle brillante généralisation dans la vraie pratique mathématique.
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C'est très simple pourtant : l'utilité, c'est de permettre de faire des calculs sans se préoccuper des bornes de sommation. Cf. par exemple ici, là (où l'on pourrait remplacer $\sum_{k=0}^n$ par $\sum_{k\in\Z}$) et là.On a en plus la relation de Pascal $\binom{n+1}k=\binom{n}k+\binom{n}{k-1}$ pour tout couple $(n,k)\in\Z^2$. Voici ce que cela permet d'écrire pour démontrer la relation du binôme : \[(a+b)^{n+1}=(a+b)\sum_{k}\binom{n}ka^kb^{n-k}=\sum_{k}\left[\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right]a^kb^{n+1-k}=\sum_k\binom{n+1}ka^kb^{n+1-k}.\] On évite de séparer les termes $k=0$ et $k=n$ dans la somme pour pouvoir appliquer la formule de Pascal. Ça ne casse pas trois pattes à un canard mais on y gagne (marginalement).
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Tiens, @Chaurien, encore une utilisation de cette « brillante généralisation » (employée sans autre forme de procès, cf. Problem 12469, à croire qu'elle est relativement répandue) dans ce fil.
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