Inversible dans un anneau commutatif

Arnaud_G
Arnaud_G
dans Algèbre
Bonjour la clique des matheux,

Je suis dans un anneau $A$ commutatif.

je dois montrer que si $x \in A$ est nilpotent alors $1-x$ est inversible dans $A$.

J’essaye avec des factorisations, avec le binôme de Newton, j’essaye de deviner la forme de l’inverse, rien n’aboutit …

Une astuce pour démarrer ?

Avec mes remerciements.

Réponses

  • jean-éric
    jean-éric
    La relation classique est : $1-x^n = (1-x)(...)$, ce qui devrait permettre de conclure.

    Jean-éric
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Si $x^k = 0$, que penser de $(1 + x + x^2 ...)$ (je vous laisse trouver le dernier terme)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Poirot
    Poirot
    Moralement, on cherche $\frac{1}{1-x}$, qui met sur la piste de ce qui va marcher.
  • Arnaud_G
    Arnaud_G
    Modifié (April 2024)
    J’ai trouvé merci, je ne sais pas pourquoi je bloquais en voulant utiliser la formule du binôme.
  • JLapin
    JLapin
    Tu peux utiliser le binôme de Newton en développant $0 = x^n = (1-x-1)^n = ...$ puis en faisant apparaitre $1 = (1-x)\times y$ de cette relation.
  • dSP
    dSP
    Une astuce pour démarrer ?

    On va un peu plus loin dans la recherche de l'inverse. Si $y$ est un inverse à droite, on aura $y=1+xy$. Ensuite, on pense à itérer
    $y=1+x(1+xy)=1+x+x^2y$. Etc.
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