Intégralité des coefficients binomiaux de Fermat

Joaopa
Modifié (13 Apr) dans Arithmétique
Bonsoir à tous,

Définissons <<à la Chaurien>> les coefficients binomiaux de Fermat comme ceci : pour tout $m,n\in\mathbb N$, $m\ge n$, on pose
$${\binom{m}{n}}_{\mathscr F}=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2^{(2^m)}-2^{(2^k)}}{2^{(2^n)}-2^{(2^k)}}.$$
J'ai une démonstration (immonde) que ${\binom{m}{n}}_{\mathscr F}$ est entier. Quelqu'un aurait-il une preuve élémentaire de ce fait ?

Merci d'avance.


Réponses

  • JLT
    JLT
    Modifié (14 Apr)
    Il suffit de montrer que $\prod_{k=0}^{n-1}(X^{2^n}-X^{2^k})$ divise $\prod_{k=0}^{n-1}(X^{2^m}-X^{2^k})$ dans $\Z[X]$, ou encore que $P=\prod_{k=0}^{n-1}(X^{2^n-2^k}-1)$ divise $Q=\prod_{k=0}^{n-1}(X^{2^m-2^k}-1)$ dans $\C[X]$. Les racines de chacun de ces polynômes sont des racines de l'unité. On doit montrer que si $d\in\N$ et si $\omega$ est une racine primitive $d$-ème de l'unité alors la multiplicité de $\omega$ dans $P$ est inférieure ou égale à celle de $\omega$ dans $Q$. On doit donc montrer que
    $$\#\{k\in [0,n-1];\; d\mid 2^n-2^k\}\leqslant \#\{k\in [0,n-1];\; d\mid 2^m-2^k\}.$$
    Soient $(a,d')\in\N^2$ avec $d'$ impair tel que $d=2^ad'$. On doit montrer que
    $$\#\{k\in [a,n-1];\; d'\mid 2^{n-k}-1\}\leqslant \#\{k\in [a,n-1];\; d'\mid 2^{m-k}-1\}$$
    ou encore
    $$\#\{k\in [1,n-a];\; d'\mid 2^{k}-1\}\leqslant \#\{k\in [m-n+1,m-a];\; d'\mid 2^{m-k}-1\}.$$
    Soit $r$ l'ordre de $2$ modulo $d'$. L'inégalité à démontrer est
    $$\#\{k\in [1,n-a];\; r\mid k\}\leqslant \#\{k\in [m-n+1,m-a];\; r\mid k\}$$
    ce qui est facile.
  • Super!

    C'est infiniment plus simple que ce que j'avais fait

    Merci JLT
  • Peux-tu expliquer pourquoi tu baptises ces nombres coefficients binomiaux ? Merci.
  • uvdose
    Modifié (22 Apr)
    Excusez-moi d'insister, mais cette question m'intéresse... À défaut d'obtenir une réponse de @Joaopa, peut-être @Chaurien passera-t-il par ici ?
    Y a-t-il un rapport plus ou moins éloigné avec cet exercice dont j'ai trouvé l'énoncé (et la solution) dans Concrete Mathematics de Graham, Knuth et Patashnik (n°86 p 318) ?
    Let $C_1, C_2,\cdots$ be a sequence on non zero integers such that
    $\gcd(C_m,C_n)=C_{\gcd(m,n)}$
    for all positive $m$ and $n$. Prove that the generalized binomial coefficients
    $\displaystyle\binom{n}{k}_C=\frac{C_nC_{n-1}\cdots C_{n-k+1}}{C_kC_{k-1}\cdots C_1}$
    are all integers.



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