Théorème de Gauss (flux)

Bonjour,
On considère le champ dérivant de la fonction de forces $U = k(x^2+y^2+z^2)^{–1/2}$.
Comme cela fait 50 ans que je n'ai plus touché à ce genre de sujet, quelqu'un pourrait-il me rappeler comment on calcule le flux à travers une surface fermée entourant l'origine $O$ (point singulier) ?
A tantôt,
L'alcool tue lentement ; et c'est très bien, car on n'est pas pressé.

Réponses

  • Il s'agit de $\displaystyle \pm \iint_S \overrightarrow{\nabla} U . d\overrightarrow{S}$ où $\text{champ} = \nabla U$ avec éventuellement une histoire de signe $\pm$ selon ce quoi on est en présence. Une loi physique couplée à un Stokes / Ostrogradski mathématique peut fournir un raccourci.


  • Titi le curieux
    Modifié (April 2024)
    Bonjour,
      Si "fonction de force" est la fonction dont l'opposée du gradient est égale à la force ($\vec{F} = -\vec{\nabla} (U) $), on dit désormais "potentiel". Ici, on remarque que partout où c'est définissable, la divergence de la force est nulle (l'opposée du laplacien), donc le résultat sera indépendant de la surface fermé (edit : tant qu'elle entoure le point $O$).
     Il s'agit en fait du cas ultra-classique (gravitation newtonnienne, champ coulombien) d'une force en "inverse du carré de la distance".
      On trouve le résultat en faisant le calcul sur une sphère centrée en $O$ (notez bien que je triche un peu, je le fais en coordonnée sphèrique), on trouve tout simplement $ -4k \pi$.

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