Bornes intégrale de Wallis

Bonjour,

Dans cet exercice, je souhaiterais savoir si la borne $\pi$ sur l'intégrale de Wallis est volontaire et si l'énoncé est toujours valide avec cette borne.

Merci.

Réponses

  • L'équivalent donné pour $W_n$ n'est valide que si la borne supérieure est $\dfrac{\pi}2$.
  • Probablement une coquille de l'énoncé. Tu t'en apercevras en faisant la question 2.

  • Oui c’est pi/2 plutôt @jandri
  • @JLapin en faisant la question 2), j'obtiens une minoration avec une intégrale entre 0 et $\pi/2$,ce qui me posait problème effectivement.

    Avec la borne $\pi $, $w_n$ serait plutôt équivalent à $\sqrt{2\pi/n}$ en l'infini.
  • Chaurien
    Modifié (April 2024)
    D'accord avec les camarades. Les intégrales de Wallis sont habituellement :  $w_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos ^{n}\theta d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}\theta d\theta $, et l'intégrale de l'énoncé est : $\int_{0}^{\pi }\sin ^{n}\theta d\theta =2w_{n}$. L'étude classique de ces intégrales consiste à calculer leur expression par récurrence au moyen d'intégrations par parties. On trouve deux expressions selon la parité, et la décroissance de la suite $w_n$ conduit à : $w_{n}\sim \sqrt{\frac{\pi }{2n}}$. Tout ceci est très connu. 
    $~~~~$Les intégrales de Wallis ont un curieux statut dans notre enseignement : je ne les ai jamais vues figurer explicitement au programme, mais tout professeur les traite forcément à bac+1, ou même en Terminale. $~~~~$ Les deux expressions de $w_n$ selon la parité seront unifiées, dans une étude ultérieure, au moyen de la fonction $\Gamma$.
    Le calcul de l'intégrale de Gauss $\int_{0}^{+\infty }e^{-t^2}dt$ proposé dans cet énoncé est sans doute le plus élémentaire, très classique. J'ai eu à le traiter en devoir il y a une soixantaine d'années, comme élève de Math. Sup,  avec comme professeur Victor Lespinard, un grand professeur. 
    Il existe une grande variété de méthodes de calcul de  cette intégrale ; voir par exemple : https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf. Ce qui est curieux c'est que le nom de Gauss n'est présent dans aucune des dix preuves données par Keith Conrad. Je me souviens d'avoir vu dans les œuvres de Gauss le calcul de cette intégrale, par la méthode consistant à passer en polaires dans une intégrale double généralisée, la première citée par Keith Conrad, mais j'ai oublié la référence précise. Or, Keith Conrad attribue cette méthode à Poisson, et il écrit que le premier calcul de cette intégrale est dû à Laplace en 1774 (« septième preuve »). C'est à se demander pourquoi cette intégrale est dénommée « de Gauss ». Encore une « misattribution » inattendue ?
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • gerard0
    Modifié (April 2024)
    Bonjour Chaurien.

    Le nom d'intégrale de Gauss a sans doute dérivé de la dénomination "courbe de Gauss" pour la densité de la loi Normale centrée réduite, qui joue un rôle central dans les probabilités et les statistiques. Gauss la met en évidence dans les études sur la "loi des erreurs", rectifiant l'erreur de Laplace (qui utilisait $e^{|x|}$). Il n'y a donc pas de raison de rechercher un mathématicien français (pourquoi toujours des français ???) ayant fait un calcul précédent.
  • Ceux qui me répondent seraient bien aimables de répondre à ce que j'ai écrit et non à ce que je n'ai pas écrit. Je n'ai jamais évoqué de nationalité dans  cette question ni dans aucune question de dénomination de théorème. Présentement, je n'ai jamais « cherché un mathématicien français », j'ai cité un article de Keith Conrad qui rassemble dix méthodes pour calculer l'intégrale de Gauss. Je n'avais plus ce texte en tête, et j'ai été surpris de ne trouver Gauss cité dans aucune de ces méthodes. Ce n'est pas un chauvin franchouillard, Keith Conrad, je présume. 
    Deuxième surprise, dans Wikipédia en anglais, il est dit que cette intégrale est connue aussi comme « intégrale d'Euler-Poisson », ce que j'ignorais :
    Noter que cette seconde appellation est absente de Wikipédia en français :
    Il ne m'est pas inconnu que cette intégrale est liée à la loi normale. Cette loi a aussi plusieurs appellations, dont l'une est « loi de Laplace-Gauss ».
    Gauss est un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Il a tant de découvertes à son actif que même si l'on changeait la dénomination de cette intégrale, ceci n'ôterait rien à sa gloire. Mais ce n'est probablement pas nécessaire.
  • Chaurien a dit :
    L'étude classique de ces intégrales consiste à calculer leur expression par récurrence au moyen d'intégrations par parties.
    L'étude classique de ces intégrale consiste plutôt à calculer $W_{2n}$ par linéarisation comme expliqué dans un très court article de Claire David https://hal.science/hal-00756401/document
  • Chaurien
    Modifié (April 2024)
    Au contraire, Claire David dit la même chose que moi pour la technique « classique », sauf qu'elle ajoute des guillemets, et elle présente son idée comme inédite. Maintenant, je ne vois pas l'intérêt de se passer d'intégration par parties, et de ne calculer que les termes d'indices pairs. Ce qui laisse entière la question de l'équivalent de $w_n$ quand $n \rightarrow + \infty$, or c'est la question qui importe.
  • Je suis entièrement d'accord avec @Chaurien, la méthode classique est bien celle qui consiste à calculer leur expression avec la formule de récurrence obtenue par une intégration par parties (je la connais depuis que mon professeur de terminale C me l'avait donnée en problème en 1972). C'est cette formule de récurrence qui permet de montrer la relation $nW_nW_{n-1}=\dfrac{\pi}2$.

    C'est bien plus tard que j'ai remarqué qu'on pouvait calculer directement $W_{2n}$ par linéarisation de $\cos^{2n}\theta$ mais je ne connais pas de méthode pour calculer directement $W_{2n+1}$.

  • Bonjour,

    j'avais cru que Jandri, que je salue, est encore en activité, mais entre 2024 et 1972, il y a 52 ans et on arrive à la terminale (en moyenne) à l'âge de 18 ans. Les professeurs en retraite font vivre ce forum.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Àpropos de la méthode directe de calcul de $W_{2n}$, c'est un grand classique bien connu (je l'ai vu en prépa en 1985). Il y a aussi sa petite sœur qui consiste à montrer que les sommes de Riemann à pas constant de $cos^{2n}$ sont constantes à partir d'un certain rang.


  • @gebrane
    Je suis encore en activité au sens où je fais encore des maths mais je suis à la retraite depuis 2016.
    J'ai eu mon bac C en 1972 avec 20 en maths (cette note était donnée rarement à l'époque).

  • Merci @Jandri d'avoir partagé ta note du bac. Je te félicite pour cette note exceptionnelle .
    Je ne sais pas si quelqu'un d'autre sur le forum ou un visiteur a également obtenu un 20 en maths au bac.
    Pourrais-je connaître le sujet de ton Bac s'il te plaît ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • J’ouvre un sujet au hasard: Bordeaux 1972. Je lis la première ligne: Résoudre une équation dans $\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ !  Et on enchaîne sur les barycentres. Par contre le sujet d’analyse ressemble à celui que j’ai passé à la fin des années 80 où l’on commençait à s’interroger sur un bac devenu insipide ! Nostalgie quand tu nous tiens !

    Félicitations à Jandri ! J’ai toujours vu ce genre de performances avec envie et admiration ! D’un autre côté, j’ai lu quelques-unes de ses interventions et j’ai cru comprendre qu’il n’était pas la dernière des billes en mathématiques.
  • @gebrane
    Je reconnais que j'ai eu un sujet de bac facile (pour l'époque) : Dijon juin 1972.

    Mais la difficulté était de rendre une copie irréprochable pour que le correcteur ne puisse pas retirer le moindre point.
  • Si on veut une formule donnant directement $w_{2n+1}$ on peut partir de la série génératrice (je passe les détails)

    $$\sum_{n\geq0}w_{2n+1}x^{2n+1}=\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

    Puis comme 
    $$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{n\geq0}\frac{(1/2)_{n}}{n!}x^{2n}$$

    et par intégration

    $$\arcsin(x)=\sum_{n\geq0}\frac{(1/2)_{n}}{n!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)}$$

    on obtient brutalement cette formule

    $$w_{2n+1}=\sum_{j\leq n}\frac{(1/2)_{j}}{(j)!}\frac{(1/2)_{n-j}}{(n-j)!}\frac{1}{(2n+1-2j)}$$

    Un peu de combinatoire doit conduire à $\frac{4^{n}}{(2n+1){2n \choose n}}$!

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