Vocabulaire sur les groupes (extension / suite exacte)

Salut,

Question pas très profonde car il s'agit de vocabulaire mais je la pose quand même.

Lorsqu'on dispose d'une suite exacte courte de groupes ($G$, $H$ et $K$ sont des groupes donnés) de la forme : 
$$1\longrightarrow H \overset {i}{\longrightarrow} G \overset {p}{\longrightarrow} K \longrightarrow 1$$
on dit selon les ouvrages que :
  • (i) $G$ est une extension de $K$ par $H$ ;
  • (ii) $G$ est une extension de $H$ par $K$.
Je sais que ça ne change rien, il suffit de savoir de quoi l'on parle, mais est-ce qu'il y a une raison d'"inverser" par rapport au sens des flèches ? J'imagine que ceux choisissant (i) n'utilisent pas cette sophistication par plaisir.

Parce qu'instinctivement, je dirais que comme $i$ est injectif et $p$ surjectif, $H$ est "plus petit" que $G$ et $K$ "plus grand" que $G$ donc on "grandit" en allant vers $K$ donc (ii) semble plus logique (même si j'aurais alors dit "extension de $H$ vers $K$" ahah).

Merci pour vos éclaircissements !

Réponses

  • Area 51
    Modifié (April 2024)
    On ne peut pas dire que $K$ est "plus grand" que $G$ dans la mesure que (si la suite est exacte) $G = H \times K$. C'est une "façon géométrique" d'expliciter les histoires de noyau, image et/ou les théorèmes d'isomorphismes.
  • Pour que $G$ soit extension de $K$ par $H$, il faut et il suffit que $G$ inclue un sous-groupe distingué $H'$ isomorphe à $H$, tel que le groupe quotient $G/H'$ soit isomorphe à $G$.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • @Area 51 : bonjour. Ne ferais-tu pas allusion aux extensions triviales ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Bonjour,
    Dans la page wikipedia en anglais :
    $$1\longrightarrow N\longrightarrow G\longrightarrow Q\longrightarrow 1$$
    Warning on terminology
    In general in mathematics, an extension of a structure $K$ is usually regarded as a structure $L$ of which $K$ is a substructure. See for example field extension. However, in group theory the opposite terminology has crept in, partly because of the notation $\mathrm{Ext}⁡(Q , N )$, which reads easily as extensions of $Q$ by $N$, and the focus is on the group $Q$.

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