Convergence simple/uniforme

Voici un exercice sur lequel je sèche.

Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $a<b$.

1) Soit $f_1,\ldots,f_n \in \mathbb{R}^{[a,b]}$. Montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $x_1,\ldots,x_n \in [a,b]$ tels que la matrice $(f_i(x_j))_{1\le i,j\le n}$ soit inversible.

2) Soit $E=\mathrm{vect}(f_1,\ldots,f_n)$. Montrer que la limite simple de fonctions de $E$ est encore dans $E$.

3) La convergence est-elle uniforme ?

1) J'arrive à montrer l'implication << $(f_1,\ldots,f_n)$ est liée $\Rightarrow \forall  x_1,\ldots,x_n \in [a,b]$, la matrice $(f_i(x_j))_{1\le i,j\le n}$ n'est pas inversible >> c'est-à-dire l'implication << S'il existe $x_1,\ldots,x_n \in [a,b]$ tels que la matrice $(f_i(x_j))_{1\le i,j\le n}$ soit inversible alors  $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre>>. Mais je n'arrive pas à montrer l'autre sens.

2) Quitte à réduire la famille, on peut toujours supposer que les $f_1,f_2,\ldots,f_n$ forment une famille libre de $E$ donc une base de $E$. D'après la question précédente, on dispose de $n$ réels $x_1,\ldots,x_n$ de $[a,b]$ tels que la matrice $M:=(f_i(x_j))_{1\le i,j\le n}$ soit inversible. Soit $(g^{(k)})_{k\ge0}$ une suite de fonctions de $E$ qui converge simplement vers une fonction $g$. Pour tout entier $k$, il existe $(a_{i}^{(k)})_{1\le i \le n} \in \mathbb{R}^n$ tel que

$g^{(k)} = \sum_{i=1}^n a_{i}^{(k)} f_i \quad (\star)$. En particulier, on a pour tout $j \in \llbracket 1,n \rrbracket$, $g^{(k)}(x_j) = \sum_{i=1}^n a_{i}^{(k)} f_i(x_j)$. Cela s'écrit matriciellement par $\begin{pmatrix}  g^{(k)}(x_1)\\ \vdots \\ g^{(k)}(x_n) \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix}  a_{1}^{(k)}\\ \vdots \\  a_n^{(k)} \end{pmatrix}$. Comme $M$ est inversible, on obtient $ \begin{pmatrix}  a_{1}^{(k)}\\ \vdots \\  a_n^{(k)} \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix}  g^{(k)}(x_1)\\ \vdots \\ g^{(k)}(x_n) \end{pmatrix}$. Ce qui montre que les suites $(a_i^{(k)})_{k \ge 0}$ converge vers disons une limite $a_i$.  En passant à la limite dans $(\star)$, on a donc $g = \sum_{i=1}^n a_i f_i $ ce qui montre que $g \in E$.

3) Supposons que les fonctions $f_i$ soient bornées sur $[a,b]$. Alors elles sont bornée par une borne commune disons $m$.

 On a alors pour tout $x \in [a,b]$, $\left|g(x) - g^{(k)}(x)   \right| \le \sum_{i=1}^n |a_i-a_i^{(k)}| |f_i(x)| \le m \sum_{i=1}^n |a_i-a_i^{(k)}|$ donc $\|g-g^{(k)}\|_{\infty}^{[a,b]} \stackrel{k \to +\infty}{\longrightarrow }0$.

Mais si les $f_i$ ne sont pas bornées, la convergence est-elle uniforme ?