$\int_{0}^{1}\frac{\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}}d\theta}{\sqrt{y-x}}dx$

gebrane
Modifié (April 2024) dans Analyse
Bonjour,
Justifier que 
$$\int_{0}^{1}\frac{\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}}d\theta}{\sqrt{y-x}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{4y}}\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{\Gamma\big(\frac{1}{2}+n\big)}{n!}\bigg)^2 $$
En déduire que le cas $y=1$ donne $\frac{\Gamma^2(1/8)\Gamma^2(3/8)}{2^{9/2}\pi}$.
Source MSE.
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


Réponses

  • Area 51
    Modifié (April 2024)
    C'est essentiellement $\displaystyle \int_0^1 \frac{K(x)}{\sqrt{y-x}} dx$. Or $K$ s'exprime aussi sous la forme d'une fonction hypergéométrique $\phantom{}_2 F_1$ donc plein de $\Gamma \bigg( \dfrac{1}{2} \bigg)$ et suivants.
  • Fin de partie
    Modifié (April 2024)
    @Area51: Quand je vois des explications aussi approximatives dans des sujets de devoirs sur table que je corrige je mets 0 ou pas beaucoup plus. >:)
    Je n'ai pas trop le temps de regarder ce problème pour le moment.
    Il me semble qu'on a une forme close pour l'expression de $\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)$ quand $n$ est un entier naturel.

    PS:
    Quand tu fournis ce genre de réponse sur MathExchange tu te fais "massacrer".

    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Quand tu fournis ce genre de réponse sur MathExchange tu te fais "massacrer".


    Justement, on n'est pas sur MSE à se donner des bons ou mauvais points ni dans l'un de tes devoirs sur table.

    Merci à @Area 51 pour sa réponse.


  • @Jlapin :  Tu veux que le forum se fasse le relai du m'as-tu-vuisme et de l'imposture?
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • L’intégrale du numérateur est une intégrale elliptique. On peut le vérifier en posant $t=\sin \theta$.
  • \begin{align}0\leq x\leq 1,F(x)&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2\sin^2 t}}dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}(x\sin t)^{2n}}{2^{2n}}\right)dt\\
    &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}x^{2n}}{2^{2n}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}(t)dt\\
    &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\binom{2n}{n}x^{2n}}{2^{2n}}\times \frac{\pi}{2}\times \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\right)\\
    &=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}^2x^{2n}}{16^n}
    \end{align}

    PS:
    Merci Wallis!
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bien vu @Fin de partie
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Pour le cas $y=1$,
    On peut noter que:
    \begin{align}J_n&=\int_0^1\frac{x^{2n}}{\sqrt{1-x}}dx\\
    &=\text{B}\left(2n+1,\frac{1}{2}\right)\\
    &=\frac{\sqrt{\pi}(2n)!}{\Gamma\left(2n+\frac{3}{2}\right)}
    \end{align}


    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Le résultat donné par @gebrane  pour l'intégrale initiale ne peut être vrai car la série du second membre diverge :  $$\dfrac{Gamma(n+1/2)}{n!}\sim\dfrac1{\sqrt n}$$ 
    En revanche la valeur de l'intégrale pour $y=1$ est bien celle que donne WolframAlpha.
  • Bonjour, j'ai trouvé cette égalité dans ce commentaire  et je n'arrivais pas à la prouver  . C'est pour cette raison que j'ai posé la question 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Dans le commentaire ce n'est pas la même chose puisqu'il y a une seconde somme insérée dans la première, cela rend la série convergente.
  • Une série pour $y=1$ il suffit de reprendre ce que j'ai écrit plus haut et on en obtient une mais je doute qu'on arrive au résultat (la forme close donnée dans le premier message semble numériquement correcte) avec cette série.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • @jandri  Sur mon écran, la deuxième formule est au dessous, d'où mon erreur de lecture
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Si on avait eu le lien dans le premier message on aurait vu l'erreur rapidement.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Il y a quelques temps (années?) il me semble que @etanche avait calculé une intégrale elliptique. Il y avait un truc de sioux dedans que j'ai oublié. Je me demande si on ne peut pas le recycler ici.

    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Le mieux que je sache faire à cette heure:
    \begin{align}J&=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x}}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2\sin^2t}}dt\right)dx\\
    &\overset{u=1-x}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{u}}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{\cos^2 t+2u\sin^2t-u^2\sin^2t}}dt\right)du\\
    &\overset{z=\sqrt{u}}=2\int_0^1\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{\cos^2 t+2z^2\sin^2t-z^4\sin^2t}}dt\right)dz\\
    &\overset{w=\tan(t/2)}=4\int_0^1\int_0^1\frac{1}{(1-w^2)\sqrt{1+\frac{8w^2z^2}{(1-w^2)^2}-\frac{4w^2z^4}{(1-w^2)^2}}}dwdz\\
    &=4\int_0^1\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-w^2)^2+8w^2z^2-4w^2z^4}}dwdz\\
    &=4\int_0^1\int_0^1\frac{1}{\sqrt{((1+w)^2-2wz^2)((1-w)^2+2wz^2)}}dwdz\\
    &\overset{y=\frac{1-w}{1+w}}=4\int_0^1\int_0^1\frac{1}{\sqrt{\Big(2-(1-w^2)z^2\Big)\Big(2w^2+(1-w^2)z^2\Big)}}dwdz
    \end{align}


    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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