Premiers, triangulaires et partition

Cidrolin
Cidrolin
Modifié (April 2024) dans Arithmétique
Soit $n$ un entier, $\pi(n)$. désigne le nombre de premiers qui sont inférieurs ou égaux à $n$, $p_n$ le n-ième nombre premier, et $t_n$  le  nombre $n(n+1)/2$.
On pose $a_n=n+\pi(n-1)+E((-1+\sqrt {8n-7})/2)$,
les premières valeurs sont : 1,3,5,8.
$b_n=n+p_n+E((-1+\sqrt {8p_n+1})/2)$,
les premières valeurs sont : 4,7,10,14.
$c_n=\pi(t_n-1)+n+t_n$,
les premières valeurs sont : 2,6,12,18.

Montrez que ces 3 suites forment une  partition de $N^*$.

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Réponses

  • Cidrolin
    Cidrolin
    Modifié (April 2024)
    Bonjour, dans le problème ci-dessus j’ai essayé de modifier adroitement mais respectueusement cette question : 
    “montrez que tout entier positif est soit de la forme $n+\pi(n-1)$, soit de la forme $n+p_n$, jamais des deux”.
    C’est l’exercice 52 de la page 78 du livre de Leo Moser, An introduction to the theory of numbers (1957).

  • john_john
    john_john
    Bonjour, Cidrolin,
    j'espère avoir du temps ce matin pour y songer ; ca sentirait le théorème de Lambek-Moser, non ? Il faut voir comment passer de deux suites à trois :)
  • john_john
    john_john
    Modifié (April 2024)
    Remarquons déjà que $8p_n+1$ n'arrive pas en parachute : c'est le discriminant de l'équation $x^2+x=2p_n$ et que l'exercice 52 est une conséquence immédiate du théorème.
  • john_john
    john_john
    Je vois (à peu près ?), mais je ne vais sans doute pas pouvoir rédiger cela avec ma tablette : on applique le théorème à la suite croissante $n\mapsto t_n+\pi(t_n-1)$ ; la suite $(c_n)$ est l'une des deux suites construites, l'autre s'appelant $(c'_n)$. Enfin, pour les indices $n$ de la suite $(c'_n)$, on construit une seconde suite croissante qui fournisse une partition de $\N^*$ en deux suites $(\varphi(n))$ et $(\psi(n))$. Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ pourraient être alors les suites extraites $(c'_{\varphi(n)})$ et $(c'_{\psi(n)})$
  • john_john
    john_john
    La logique floue de l'IA de Microsoft : 


    Vous
    On a aussi le théorème de Kolmogorov-Arnol-Moser :  s'agit-il du même mathématicien Moser ?

    Copilot

    Génération de vos réponses…

    Oui, il s’agit du même mathématicien Moser ! Le théorème de Lambek-Moser et le théorème de Kolmogorov-Arnold-Moser portent tous deux le nom de Leo Moser, un mathématicien canadien d’origine autrichienne. Cependant, ces théorèmes sont liés à des domaines mathématiques différents.

    • Leo Moser (1921-1970) a contribué à divers domaines des mathématiques, notamment la combinatoire, la géométrie discrète et la théorie des nombres. Le théorème de Lambek-Moser est l’un de ses résultats notables dans le domaine de la combinatoire.

    • Le théorème de Kolmogorov-Arnold-Moser, quant à lui, est associé à trois mathématiciens :

      • Andrey Kolmogorov (1903-1987), un mathématicien russe, connu pour ses travaux en théorie des probabilités, en analyse et en dynamique des systèmes.
      • Vladimir Arnold (1937-2010), un mathématicien russe également, qui a apporté des contributions importantes à la géométrie symplectique et à la théorie des systèmes dynamiques.
      • Jürgen Moser (1928-1999), un mathématicien allemand, spécialisé dans la mécanique céleste et la théorie des systèmes dynamiques.

    En résumé, bien que les deux théorèmes portent le nom de “Moser”, ils sont liés à des contextes mathématiques différents et ont été développés par des mathématiciens distincts. Néanmoins, Leo Moser est l’auteur du théorème de Lambek-Moser, tandis que le théorème de Kolmogorov-Arnold-Moser est attribué à Kolmogorov,

  • john_john
    john_john
    L'IA, après résipiscence : 

    Je m’excuse pour la confusion dans ma réponse précédente. Vous avez raison, et je vais clarifier cela :

    • Le théorème de Lambek-Moser est attribué à Leo Moser, un mathématicien canadien d’origine autrichienne. Ce théorème concerne les partitions des entiers naturels en deux ensembles complémentaires, et il utilise deux fonctions croissantes pour décrire ces partitions.

    • Le théorème de Kolmogorov-Arnold-Moser, quant à lui, est associé à trois mathématiciens :

      • Andrey Kolmogorov, un mathématicien russe, connu pour ses travaux en théorie des probabilités, en analyse et en dynamique des systèmes.
      • Vladimir Arnold, un autre mathématicien russe, qui a apporté des contributions importantes à la géométrie symplectique et à la théorie des systèmes dynamiques.
      • Jürgen Moser, un mathématicien allemand, spécialisé dans la mécanique céleste et la théorie des systèmes dynamiques.

    En résumé :

    • Le théorème de Lambek-Moser est de Leo Moser.
    • Le théorème de Kolmogorov-Arnold-Moser est attribué à Kolmogorov, Arnold et Moser ensemble.

    Merci de m’avoir corrigé, et j’espère que cette explication est plus claire ! 

  • Cidrolin
    Cidrolin
    Merci John John pour ces précisions. Léo est mort bien jeune, à 48 ans, comme le dessinateur Bosc ou le cuisinier Carême.
  • john_john
    john_john
    Modifié (April 2024)
    Bonsoir, Cidrolin,
    je donne ma langue au chat ! J'ai tenté de maintes façon d'appliquer le théorème de Lambek-Moser, mais sans succès. Sans doute suis-je passé à côté de quelque chose (un encadrement de $p_n$,  ou une formule du type $n+t_n=t_{n+1}-1$...) ou d'une astuce.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Merci @john_john pour ton intérêt. Je laisse encore un peu de temps aux chercheurs éventuels.
    Amicalement
    Édouard Cidrolin
  • john_john
    john_john
    M'sieu, une p'tite indication ?
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Modifié (April 2024)
    Comme indication voici ma méthode pour l'exercice $52$ de Leo Moser.
    Je classe par ordre croissant les nombres qui sont des entiers, ou bien des premiers $+0,5$.
    Je trouve $1<2<2,5<3<3,5<4<5<5,5<6<7<7,5<8<9<10<\dots$.
    Les deux suites de l'énoncé donnent respectivement les places des entiers et les places des premiers $+0,5$.
    Amicalement
    Édouard Cidrolin

  • jandri
    jandri
    Merci à @Cidrolin pour cette indication qui non seulement donne la solution pour  l'exercice $52$ de Leo Moser mais aussi suggère fortement la méthode pour trouver une solution pour les trois suites (ce que je n'avais pas pu trouver tout seul comme @john_john).


    Je la donne un peu cachée : 
    On classe l'ensemble des $n\in\N^*$, des $p_n +2/3$ et des $t_n+1/3$ : $a_n$ est le rang de $n$, $b_n$ celui de $p_n +2/3$ et $c_n$ celui de $t_n+1/3$


  • Cidrolin
    Cidrolin
    Bravo !
  • john_john
    john_john
    Très subtil !
  • jandri
    jandri
    Je n'aurais jamais trouvé sans l'indication de @Cidrolin, tout le mérite est pour lui !

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