Limite suite numérique
Bonjour
$a(n),b(n)$ suites réelles de limite 1.
$a(n),b(n)$ suites réelles de limite 1.
$u(n)$ suite réel strictement positif telle que pour tout $n\in \N$
$u(n+2)=a(n+1)u(n+1)+b(n)u(n)$
$x(n)=\frac{u(n+1)}{u(n)}$, $y(n)=\frac{\ln(u(n))}{n}$
Montrer que $x(n),y(n)$ convergent, et déterminer leurs limites.
C’était le numéro 91 de la RMS, le corrigé de la RMS utilise limite supérieure et inférieur.
Défi écrire une solution sans limite supérieure et inférieure.
$u(n+2)=a(n+1)u(n+1)+b(n)u(n)$
$x(n)=\frac{u(n+1)}{u(n)}$, $y(n)=\frac{\ln(u(n))}{n}$
Montrer que $x(n),y(n)$ convergent, et déterminer leurs limites.
C’était le numéro 91 de la RMS, le corrigé de la RMS utilise limite supérieure et inférieur.
Défi écrire une solution sans limite supérieure et inférieure.
Réponses
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Bonsoir,$\bullet\:$Pour la suite $(x_n)_n,\:\:$ je propose ça:$\forall n\in \N,\:\:x_{n+1} =a_{n+1} +\dfrac{b_n}{x_n}.\quad \displaystyle \lim_{n\to+\infty}a_{n} =1,\:\:$ donc $\exists N \in \N \: $ tel que $\forall n \geqslant N, \:\:x_{n}>a_n>\dfrac 23.$Avec cette inégalité et $\:\displaystyle \lim_{n\to+\infty}b_n =1, \:\:$ on déduit que $x_{n+1} =1+\dfrac 1{x_n} +c_n\:\: $où $ \:\displaystyle \lim_{n\to +\infty} c_n =0.$Notons $\varphi =\dfrac{ 1+\sqrt 5}2, \:\:\:y_n =x_n -\varphi.\qquad$ Alors: $\:\: y_{n+1} =-\dfrac {y_n}{\varphi x_n}+c_n,\qquad \forall n\geqslant N,\quad |y_{n+1}|\leqslant \dfrac 3{2\varphi}|y_n| +|c_n|.$Soit $\rho =\dfrac 3{2\varphi}.\:\:0<\rho<1. \quad$ Une récurrence facile conduit à: $\boxed{\forall n\in\N, \:\:|y_{N+n}|\leqslant z_n,}\:\:$où $\:\:(z_n)_n\:$ est la suite définie par $z_0 =|y_N|, \:\:z_{n+1} =\rho z_n +|c_n|.\:\:$ Montrons que $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} z_n =0.$Soit $t_n = \dfrac {z_n}{\rho^n}.\quad t_{n+1} =t_n+\dfrac {|c_n|}{\rho^{n+1}}, \quad t_n =t_0+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac {|c_k|}{\rho^{k+1}}, \quad z_n =\rho^nt_0+\sum_{k=0}^{n-1}\rho^{n-k-1}|c_k|=\rho^nt_0+\sum_{k=0}^{n-1}\rho^{k}|c_{n-k-1}|$Soit $\varepsilon>0, \:\exists P\in\N\: $ tel que $\forall n\geqslant P,\:\:|c_n|<\varepsilon.\quad $Soit $\:\:M=\max\{|c_k|/ k\in \N\}.$$ \forall n>P,\:\:\:0<z_n<\rho^nt_0+M\displaystyle \sum_{k>n-1-P}\rho^k+\varepsilon \sum_{k =0}^{n-P-1}\rho^k< \rho^nt_0+M\dfrac {\rho^{n-P}}{1-\rho} +\varepsilon \dfrac 1{1-\rho}.$Cet encadrement de $z_n$ assure la convergence de $(z_n)_n$ et de $\:(|y_n|)_n \:$ vers $\:0$, puis celle de $\:(x_n)_n$ vers $\:\varphi.$$\bullet\:$ La convergence de $(y_n)_n$ résulte presque immédiatement du résultat précédent.D'après celui-ci: $\:\:u_n = \varphi^n\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}(1+\varepsilon_k)\:\: $ où $ \displaystyle \lim_{n\to +\infty}\varepsilon_n =0,\qquad y_n =\log\varphi + \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}\log(1 +\varepsilon_k)$et un théorème attribué à Cesaro donne alors: $\:\:\displaystyle \lim_{n\to +\infty}y_n = \log\varphi. $
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