Retour oraux agreg interne 2024

Pour vous distraire et vous motiver dans l'attente des résultats, voici le détail de mon oral 2 (admis en 2021).

j'ai pris des notes, juste après, dans le train du retour...

La veille, j'étais tombé sur l'algèbre, ma leçon était "légère" mais j'avais bien géré le temps, bien fait mon développement, je visais un 12/20. J'avais beaucoup moins travaillé l'analyse, donc le J2 allait être très compliqué 

J'avais le choix entre présenter des exercices sur les équation différentielles (absolument pas travaillé) et la présentation d'exos 444 "exemple de calcul approché de la limite d'une suite, de la somme d'une série, aspect algorithmique".
J’avais quelques connaissances sur les suites et les séries, mais je n’avais pas préparé donc j'ai passé 3h sur le grill : j'ai commencé par retrouver assez rapidement dans le Dantzer p159 la définition de la vitesse de convergence pour une suite puis un exo où on montre des suites qui convergent vers $e$ (p161-163).
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Exo2 : On définit les suites $u, v, w$ suivantes :
$u_n = ({1} + \frac {1} {n})^n$ (convergence lente) ;
$v_n = ({1} + \frac {1} {2^n})^{{2}^n}$ (convergence géométrique de raison $\frac {1} {2}$ ;
$w_n$  avec la somme de $k=0$ à $n$ des  $\frac {1} {k!}$ (convergence rapide).
Une seule question : montrer que ces 3 suites convergent vers $e$ et étudier les vitesses de convergence.
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Au début je pensais faire celui là en développement, mais dans de ce que je voyais dans le Dantzer, ils faisaient ça avec des DL, et vu que je connaissais pas mes DL par coeur, j'allais me vautrer...
Après réflexion, en fouillant dans le tout en un pour la L1 (Ramis Warusfel) j'ai trouvé un exo plus basique sur une suite qui convergeait vers $\sqrt{2}$

. J’avais 2 exercices, je me suis dit : les classiques, $\sqrt{2}$, $e$, je rajoute ${\pi}$ avec une série (vu le titre de la leçon) et basta...
Il y avait un truc sur ça dans le Dantzer et aussi dans le Ketrane (épreuve orale d'exemples et d'exercices pour l’agrégation interne).
J'ai fait un mélange entre les deux pour faire un exercice plus consistant...
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Exo3:
1) On sait que la somme de 1 à l’infini des $\frac {1} {{k}^2}$ vaut $\frac {{\pi}^{2}} {6}$ et on considère la suite $(S)$ des sommes partielles $S_n$.
Etudier la vitesse de convergence de $S_n$ vers $\frac {{\pi}^{2}} {6}$ (la convergence est lente).
2) On définit les suites $(a)$ et $(u)$ suivantes :
$a_n = n sin (\frac {{\pi}} {n})$ et $u_n = {2}^n sin (\frac {{\pi}} {2^n})$ montrer que $a_n$ converge lentement vers ${\pi}$ et que $u_n$ converge géométriquement (raison $\frac {1} {4}$) vers ${\pi}$.
3) On définit enfin la suite $(c)$ suivante :
$c_n= cos (\frac {{\pi}} {2^n})$ prouver que pour n supérieur ou égal à 1, $u_n = u_{n+{1}}*c_{n+{1}}$ et en déduire comment calculer les différentes valeurs de $u_n$ sans utiliser ${\pi}$ (mais bien pour calculer une valeur approchée de ${\pi}$).
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Exo1:
On pose f définie sur $R^*$ par $f(x) = \frac {1} {2} (x + \frac {2} {x})$ et $(x_n)$ définie par $x_{0} = {2}$ et $x_{n+1} = f(x_n)$
1) Montrer que $\sqrt{2}$ < $x_{n+1}$ < $x_n$ < 2.
2) En déduire que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite.
3) Montrer que $\frac {x_{n+1} – \sqrt{2}} {{2}\sqrt{2}} < (\frac {x_n – \sqrt{2}} {{2}\sqrt{2}})^2$ puis que $x_n – \sqrt{2} < 3 * (\frac {1} {4})^{{2}^n}$ et en déduire un entier k tel que $x_n – \sqrt{2} < {10}^{-k}$.

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Il m’a fallu pas loin de 2h pour arriver à avoir ces 3 exercices, restait à choisir lequel pour le développement…

L’exercice 2 j’allais passer un sale quart d’heure vu ma connaissance approximative des DL, j’ai regardé le 3, à nouveau y avait des DL un peu partout, déjà, même la question 1) j’avais du mal à la faire de mémoire… Démontrer que la série converge vers $\frac {{\pi}^{2}} {6}$ je ne le sentais pas, et pour la vitesse de convergence, j’ai rajouté une indication en catastrophe à la fin de la question 1) en toute fin de préparation :

( Indication montrer que pour n>0   $\frac {1} {n+1}  <  \frac {{\pi}^{2}} {6} - S_n  <  \frac {1} {n}$.  )

Mais à nouveau dans le Dantzer ils utilisaient des DL pour démontrer cette inégalité…

Donc il ne me restait plus qu’une solution, choisir l’exercice 1. C’est celui qui me semblait le plus abordable, je commence à lire la correction dans le tout en un, ??? , je ne comprenais pas tout au corrigé…

Il me restait 45 min, j’ai pris un brouillon, j’ai fait le début avec une étude de fonction puis récurrence comme un élève de terminale, puis j’ai fini par comprendre pour démontrer les inégalités de la question 3) 15 min avant la fin, ouf ! Mais je n’étais pas sûr de savoir refaire dans la salle ensuite, ni combien de temps ça allait me prendre, au secours…

J’ai réfléchi 5 min à ce que j’allais devoir dire en présentation des exercices, bu une rasade de coca pour me remonter, et fallait y aller !

J’y suis allé à reculons (pas assez d’exercices, un seul que je savais vaguement faire, pas assez bossé, aspect algorithmique, je n’avais même pas un malheureux programme pour montrer une suite qui convergeait vers quelque chose, la honte) : j’allais me faire laminer, mais comme la veille, je savais que je n’étais pas trop mal, je me suis fait violence, j’y suis allé…
Entré dans la salle, ils ont du bien voir comme j’étais blanc, pas fier, épuisé (malgré le boost de coca, idiot, j’aurais du prendre du Redbull et aussi manger quelque chose, il était midi !)

J’ai commencé par dire pourquoi j’avais choisi les exercices en disant que le premier était un classique/historique (Heron) d’approximation de $\sqrt{2}$.

J’ai ensuite écrit au tableau les définitions de vitesse de convergence trouvées dans le Dantzer (tant que j’avais mes notes) puis présenté l’exercice 2 en disant que ça convergeait vers une autre constante classique, $e$, et qu’on avait la comparaison des 3 vitesses de convergence dans cet exercice.

Puis l’exercice 3 en disant qu’on avait ici une série qui permettait d’approximer ${\pi}$ (autre constante classique) mais que c’était lent, d’où la fin de l’exercice avec des suites et des convergences plus rapides (la suite $a_n$ étant le classique avec méthode d’Archimède, c’est la formule du périmètre d’un polygone à n côtés qui tend vers le cercle, mais c’est lent à nouveau, d’où la fin de l’exercice…)

Quand j’ai eu fini (heu, j’ai tenu large 5 min) ils ont eu l’air d’avoir pitié « Vous avez fini ? Il vous reste du temps, vous voulez nous présenter un programme informatique ? ».

« Heu, oui, heu, j’ai fini, et non, je n’ai pas de programme… ».

« Bon, et pour votre développement ».

« Bien, j’aurais bien fait l’exercice 2, mais vu que je ne connais pas bien mes DL, je vais rester modeste et je vais faire l’exercice 1 ». J’ai honte, j'ai vraiment dit ça !

Et en avant, je fais l’exercice 1, que j’ai réussi à faire sans me prendre les pieds dans le tapis (miracle) en un peu moins de 15 min (alors que je savais pas combien de temps ça me prendrait).
Ensuite, on est passé aux questions : et là, je me suis dit que j’allais prendre cher, qu’ils allaient commencer par me cuisiner sur l’exercice 2…

Mais non, ils ont commencé par me poser des questions sur l’exercice 1 : « Mais pourquoi cette fonction, d’où ça sort, pourquoi ce choix de $x_0$ ».

« Je ne sais pas, enfin si je sais, c’est la méthode de Newton, mais je ne sais pas, je n’ai pas assez travaillé ».

« Mais si, vous savez, c’est quoi cette méthode de Newton ? ».

« C’est avec la tangente ».

« Bien, expliquez ».

« Bien, on part de $x^{2} – {2}$ puis on construit une suite avec la tangente… ».

« Tracez la courbe, montrez nous cette suite ».

Je m’exécute, vite fait je trace l’allure (au début comme un sagouin, tremblotant, j’ai du m’y reprendre à 2 fois, la honte) , je trace la tangente, ils me demandent de montrer la suite sur le graphique, j’explique, je leur dessine l’escalier qui montre les termes de la suite qui converge vers le 0 de la fonction, donc la valeur $\sqrt{2}$, ils me demandent l’équation de la tangente, et je finis par leur retrouver la fonction $f$, ppppffffff…

« Bien, vous voyez, en fait vous savez ! » (tu parles, ils m’ont bien aidé, ils ont surtout été très bienveillant…).

« Bon et maintenant, avec ce qui est écrit au tableau, étudiez la vitesse de convergence ».

« Elle est rapide, ça doit pourvoir se montrer avec les inégalités de la question 3) ».

« Faites ».

Je m’exécute, un éclair de génie, en utilisant la première inégalité je sors $\frac {x_{n+{1}} – \sqrt{2}} {x_n – \sqrt{2}}$ puis en combinant avec la deuxième inégalité, j’arrive à conclure, miracle…

« Bon et maintenant, on va passer à l’exercice 3 » (tiens, ils ne me charcutent pas sur l’exercice 2 ??? c’est sûr, ils vont y venir, ils me font mariner…).

« Vous pouvez montrer l’inégalité que vous avez mis en indication ? » (quel imbécile, pourquoi j’ai rajouté ce truc tout à la fin de la préparation, je ne sais pas le démontrer et bingo, ils me demandent de le démontrer !).

« Et bien, ça peut se démontrer avec des DL mais vu que je ne les connais pas bien, je n’ai pas assez travaillé… ».

« Il y a d’autres méthodes, notamment on peut utiliser un télescopage ».

« Ah bon ? Je ne sais pas… »

« Mais si vous savez, essayez, effacez le tableau ».

Je m’exécute, j’efface, tout en pensant, télescopage, $\frac {{\pi}^{2}} {6} – S_n$ c’est le reste, dans la somme des $\frac {1} {k^2}$, faut une inégalité avec du $\frac {1} {k+1} – \frac {1} {k}$ qui va se télescoper…

J’écris, j’essaie, ils m’aident, je finis par y arriver…

« Bien, vous voyez, vous savez ».

« Oui, non, merci, pardon, je n’ai pas assez travaillé ».

Après ils m’ont posé des questions sur la lenteur de la convergence vers ${\pi}$ pour cette série, je n’ai pas tout compris, en gros la convergence est lente, mais en fait ils ont voulu me faire montrer que ce n’est pas si vilain que ça pour calculer les décimale de ${{\pi}^{2}}/{6}$ (et donc de ${\pi}$), il ne faut pas tant de termes que ça de la série pour obtenir pas mal de décimales…

Et puis ils m’ont dit « On vous libère » ( ??? et l’exercice 2, ils l’ont oublié, pars vite avant qu’ils ne changent d’avis !)

« Merci, pardon je n’ai pas assez préparé, désolé pour mon piètre niveau, merci pour votre bienveillance, je retourne dans ma compagne profonde auprès de mes collégiens, bonne continuation à vous ».

Je sors, j’ai passé un mauvais moment, mais j’ai survécu ! manger un truc, vite, pour ne pas tomber, vite sortir, ils pourraient revenir me chercher pour me poser des questions sur l’exercice 2 !

Ils m’ont mis 10,5/20 : soit ils ont eu pitié (mais je n’y crois pas) soit ils se sont dit, bon, celui là, il n’a pas assez bossé, c’est sûr, il ne nous a pas recraché des solutions d’exos qu’il a bachoté, mais au moins, ils nous a montré qu’ils savait chercher, retrouver, qu’il savait faire, on lui met la moyenne…

Moralité : la jouer modeste, et faire de son mieux, ça peut le faire ! J’espère que ce retour d’expérience en motivera/rassurera certains… C’est épuisant, mais le jeu en vaut la chandelle !