Une inégalité subtile

Bonjour,
Soient $m < n$ deux entiers positifs, ayant le même nombre de chiffres et plus de la moitié des chiffres à gauche en commun ; démontrer que, pour tout entier $p > 1$, on a $n^{1/p} - m^{1/p} < 1/p$.
Bonne chasse !...
Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (13 Apr)
    Notons $d$ le nombre de chiffres de $m$ et $n$. Par hypothèse, on peut écrire $n = m + h$ avec $h < 10^{d/2}$, puis
    $$n^{1/p} - m^{1/p} = \int_{m}^n \dfrac{t^{1/p-1}}{p} dt \leq \dfrac{1}{p} h m^{1/p-1} < \dfrac{1}{p} 10^{d/2} 10^{(d+1)(1/p - 1)} \leq \dfrac{1}{p} 10^{d/2 + d/p -d + 1/p - 1}\leq  \dfrac{1}{p}.$$
    La dernière inégalité provient du fait que l'exposant est négatif.
  • Il existe une preuve algébrique...
    Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)
  • etanche
    Modifié (15 Apr)
    @ Piteux_gore fais-tu référence à l’inégalité de Bernoulli $(1+x)^{r} \leq 1+rx$ pour $r\in ]0;1[$ et $x\geq -1$ ?
  • L'exercice se trouve dans les Nouvelles Annales de Mathématiques 1844.
    Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.