Les espaces vectoriels sur R de dimension finie, muni de la norme infini, sont complets.

Bonjour
J'essaie de montrer qu'un $\R$-espace vectoriel $E$ de dimension $p$ muni de la norme infini est complet. J'ai bien compris la démonstration que les espace $\R^p$ sont complets (démonstration du livre de M.Dantzer), et le livre dit qu'on montre de la même manière qu'un $\R$-espace vectoriel $E$ de dimension finie avec la norme infini est complet.

J'ai bien repris la démonstration, je la comprends, mais ayant du mal avec l'abstraction "espace vectoriel" + "normes" + "suite de Cauchy", j'ai peur d'avoir fait une boulette en suivant la démonstration pour $\R^p$, je vous préviens, c'est sûrement nul comme question.

Dans $(E, \text{norme infinie})$, je prends une suite de Cauchy $(X_n)$, qui se note $(X_n)=((x_{1,n},\dots,x_{p,n})$. J'ai, pour tout $k$ entre 1 et $p$, pour tout $(n,m)$ entiers, $|x_{k,n}-x{k,m}| \leq \text{norme infinie} (X_n -X_m) $. Puisque $(X_n)$ est de Cauchy, chaque suite réelle $x_{k,n}$ est de Cauchy donc converge dans $\R$ vers un réel $l_k$. On note $L=(l_1 , \dots , l_k)$. Finalement, en prenant $N$ assez grand (rapport à chaque suite de Cauchy), j'arrive à $\text{norme infinie}(X_n - L)< \epsilon$. Donc la suite de Cauchy $(X_n)$ converge vers $L$, donc $(E, \text{norme infinie})$ est complet.

Là où j'ai un sale doute, c'est sur le fait que $L$ appartient bien à $E$. J'ai du mal à concevoir la tête qu'à mon espace vectoriel, en plusieurs dimensions, avec des suites indexées... Bref, si j'ai écrit une absurdité en mélangeant norme, valeur absolue, nombres réels... Merci.