Convergence uniforme d'une suite de fonctions

Les inégalités de cette épreuve de Centrale permettent en effet de se ramener à la question 1.

On montre que $\|f'_n\|_{\infty} \le \|f_n^{(k)}\|_{\infty} + \|P_{f_n}'\|_{\infty}$ où $P_{f_n}$ est le polynôme interpolateur de $f_n$ en certains points $x_1<\ldots <x_k$ choisi arbitrairement dans le segment $[0,1]$.  D'une part, par hypothèse, les $\|f_n^{(k)}\|_{\infty} $ sont majorés par une borne uniforme.  D'autre part, $P_{f_n}' = \sum_{i=1}^k f_n(x_i)L_i'$ où $L_i$ sont les polynômes interpolateurs de Lagrange (qui ne dépendent que des points $x_i$). Donc $ \|P_{f_n}'\|_{\infty} \le \sum_{i=1}^k |f_n(x_i)| \|L_i'\|_{\infty}$. Comme la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$, les $k$ suites $(f_n(x_i))$ sont bornées par une borne uniforme. Finalement, les dérivées $(f_n')$ sont uniformément bornées donc on est ramené à la situation de la question 1.