Majoration d'une intégrale

Je n'en ai rédigé qu'une seule en fait. Celle de @bisam.
On note $p(x) = \frac{1}{6}x(x-1)(x-2)$.
Par la relation de Chasles et la première question, on a
\[\int_0^2 g(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 g(x)\,\mathrm{d}x + \int_1^2 g(x)\,\mathrm{d}x = \underbrace{\int_0^1 p(x)g^{(3)}(c_x)\,\mathrm{d}x}_{:=I_1} + \underbrace{\int_1^2 p(x)g^{(3)}(c_x)\,\mathrm{d}x}_{:=I_2}\]
Posons $s := \sup\left(g^{(3)}\right)$ et $i:=\inf\left(g^{(3)}\right)$. Pour tout $x \in [0,2]$, on a l'encadrement $i \le g(c_x) \le s$. 

Sur l'intervalle $[0,1]$, $p(x) \ge 0$ de sorte que $ip(x) \le p(x)g(c_x) \le sp(x)$ puis par croissance de l'intégrale :
\[i \int_0^1p(x)\,\mathrm{d}x \le I_1 \le s \int_0^1p(x)\,\mathrm{d}x \Rightarrow \frac{1}{24}i \le I_1 \le \frac{1}{24}s\]
Sur l'intervalle $[1,2]$, $p(x) \le 0$ de sorte que $sp(x) \le p(x)g(c_x) \le ip(x)$ puis par croissance de l'intégrale :
\[s \int_1^2p(x)\,\mathrm{d}x \le I_2 \le s \int_1^2p(x)\,\mathrm{d}x \Rightarrow -\frac{1}{24}s \le I_2 \le -\frac{1}{24}i\]
On en déduit par somme que
\[-\frac{1}{24}(s-i) \le \int_0^2 g(x)\,\mathrm{d}x \le \frac{1}{24}(s-i)\]
On a donc montré que
\[\left|\int_0^2 g(x)\,\mathrm{d}x\right| \le \frac{1}{24}(s-i)\]

PS: on peut montrer que la fonction $x \mapsto g^{(3)}(c_x)$ est continue de sorte que les intégrales $I_1$ et $I_2$ sont bien définies.