Somme des angles quadrilatère croisé

Bonjour 
On sait que pour un quadrilatère non croisé la somme des angles intérieurs à chaque sommet est 360 degrés.
Qu’en est-il pour un quadrilatère croisé ? 
Merci

Réponses

  • gerard0
    Modifié (6 Apr)
    Bonjour.
    Soit ABCD un rectangle et le quadrilatère croisé ABDC. En faisant varier la longueur AB sans faire varier AD, on voit que la somme des angles géométriques CAB, ABD, BDC et DCA peut varier de 0° à 360° en passant par toute valeur intermédiaire.
    Cordialement.
    [rajout d'une précision en italique]
  • Si on prend un carré ABCD, et le quadrilatère croisé ABDC, on a 2 angles qui font 45°, et pour les 2 autres, soit on considère qu'ils font 45°, soit on considère qu'ils font -45°
    Quelle est la convention ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Bonjour,
    On fabrique un papillon à partir de deux triangles isocèles opposés par le sommet et à bases parallèles : les angles à la base des deux triangles peuvent être aussi petits que l'on veut.
    Gardez le kap !...

    Un con testateur vaut dix contestataires.
  • D'accord avec @lourrran . Je dirai même plus, je ne vois pas l'intérêt de s'occuper des angles d'un quadrilatère croisé. 
    Par contre, le vrai problème c'est la définition des angles d'un polygone simple, c'est-à-dire dont les segments-côtés ouverts ne se recoupent pas. Je parle des angles non orientés. Normalement, un tel angle, ou écart angulaire, se définit comme l'angle du rapporteur, entre $0$ et $\pi$, qu'on appelle aussi « angle saillant ». Mais pour affirmer que la somme des angles d'un $n$-gone simple est $(n-2) \pi$, il faut considérer des « angles rentrants », et il est bien difficile de formaliser ceci sans recours à la figure.
    D'ailleurs, pensons déjà au théorème de Jordan qui dit qu'un polygone simple partage le plan en deux composantes connexes, l'une bornée et l'autre non, appelées respectivement intérieur et extérieur (géométriques) du polygone. Ce théorème peut passer pour évident quand on fait le dessin, mais très difficile à démontrer vraiment. J'ai toujours pensé ça, sans trouver de lecture à ce sujet. J'en ai trouvé une récemment : Yves Coudène, La géométrie élémentaire, d'Euclide à aujourd'hui, Calvage & Mounet 2022, qui consacre à ce sujet pas moins d'une vingtaine de pages, ce qui me conforte dans l'idée que c'est compliqué. Il aborde même la question des polygones croisés, que j'ai dite plus haut sans intérêt : il faudra que je change d'avis.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • plsryef
    Modifié (5 Apr)
    Je trouve ça intéressant, selon la convention pour le calcul des angles, on peut imaginer qu'une partie de l'espace a été replié sur lui même:

  • etanche
    Modifié (6 Apr)
    On considère que les angles de droites sans orientation.
    La somme des angles peut devenir aussi petits,comment démontrer rigoureusement.
    Quelle est la valeur maximale de cette somme d’angles intérieurs ? Comment démontrer ? Merci
  • Peut-on démontrer qu'on peut se ramener au cas de deux triangles et par conséquent, c'est plié ?
  • @ rémi oui. 
    Je précise que c’est la somme des angles intérieurs associés au sommets ABCD. 
    Quelle est la valeur maximale ? 
  • Chaurien
    Modifié (6 Apr)
    Il est difficile de distinguer intérieur et extérieur pour un polygone qui n'est pas simple.
  • Rescassol
    Modifié (6 Apr)
    Bonjour
    Il y a une définition utilisée en informatique graphique.
    Un point est intérieur si on peut tracer de lui une demi-droite générique (ne passant pas par une auto-intersection du polygone) coupant le polygone en un nombre impair de points.
    Cette définition vaut d'ailleurs pour tous les polygones, simples ou non.
    Celà permet la désignation de zones, en cliquant dessus.
    Cordialement,
    Rescassol
  • gerard0
    Modifié (6 Apr)
    @etanche  :  "On considère que les angles de droites sans orientation." Tu veux dire les angles géométriques ? Ceux du début du collège ? Car les angles de droite sont définis à Pi près et n'ont de sens qu'avec orientation (sinon, lequel choisir ?).
    Si ce sont bien les angles géométriques, je t'ai répondu en précisant, contrairement à ce que tu continues de faire, de quels angles je parlais, et comment le justifier.
    Je complète le message pour qu'il soit bien clair que je parlais d'angles géométriques.
  • Je rajoute la précision suivante : Les angles considérés sont tous inférieurs à ceux du quadrilatère non croisé associé (les secteurs angulaires sont intérieurs).
  • @ gerard0 oui les angles géométriques ceux du début de collège 6ème, 5ème que l’on mesure avec le rapporteur.
  • Je ne sais pas s’il faut parler d’intérêt ou pas de s’occuper des angles d’un tel quadrilatère. Toujours est-il qu’un écolier ou un collégien va un jour tracer un tel quadrilatère et j’espère que son prof ne lui dira pas « heu… ça n’a pas d’intérêt… ». 
    Par contre ce fil permet au moins de comprendre [de mon point de vue] qu’il FAUT évoquer les autres angles rentrants pour les quadrilatères concaves non croisés. Ainsi on justifie entre professionnels que l’on puisse parler d’angles dont la mesure dépasse celle du plat et que c’est naturel. 
  • Avez-vous quelques exemples d’exercices avec des quadrilatères croisés ? Merci.
  • Donc dans mon exemple où on part d'un carré ABCD, et on regarde en fait ABDC, on obtient 4 angles de 45°, c'est à dire 180°
    Maintenant, partons d'un rectangle ABCD, avec 2 longueurs AB et CD beaucoup plus longues que les largeurs AD et BC ( 100 fois plus longues par exemple).
    Gardons les 2 longueurs et les 2 diagonales, on obtient un quadrilatère croisé avec 4 angles tout petits, d'environ 1° chacun. Donc 4° pour la somme des 4 angles.
    Et si on veut avoir une somme plus petite, aussi petite que l'on veut, on peut l'obtenir.

    Et sion garde les 2 largeurs et les 2 diagonales, on peut obtenir un nombre aussi proche de 360° que l'on veut, mais sans jamais dépasser 360°.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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