Somme de coefficients binomiaux
Réponses
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Il ne semble pas qu'il y ait une formule fermée en général.Et attention à la définition. On peut définir $C_n^k$ de plusieurs façons. Définir $C_n^k:=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ comme tu fais, ce n'est valable que si $n \in \mathbb N, k \in \mathbb N, 0 \le k \le n$. Il faut donc que tu supposes $k+L \le n$. Ou alors, prends une autre définition de $C_n^k$, valable pour tout $n \in \mathbb N$ et tout $ k \in \mathbb N$.
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Peut-être en développant $(1+1)^n$ avec la formule du binôme de Newton.
NB : la définition classique des coefficients binomiaux est le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments. -
Suppose au début k=n
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Salut,
A la limite, tu peut regarder ça comme $2^n$ fois la proba qu'une binomiale de paramètre $1/2$ donne un résultat entre $k$ et $k\!+\!L$ puis approximer le résultat par une loi normale. -
Bonsoir Ben314159.Bonne idée, mais qui ne donne une bonne approximation que si $k$ et $k+L$ sont proches de $\frac n 2$ (et bien évidemment, $n$ "grand"). Loin de l'espérance, l'approximation Normale donne des résultats désastreux.Cordialement.
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• Il y a une formule pour les sommes successives de coefficients d'une ligne du triangle de Pascal, mais partant du début et alternées.• Pour moi, la meilleure définition des coefficients binomiaux est, et pour $x\in \mathbb{R}$ ou même, si besoin est, pour $x \in \mathbb{C}$ : $\binom{x}{0}=1$ et $\binom{x}{k}=\frac{1}{k!}x(x-1)\cdots(x-k+1)$, pour $k\in \mathbb{N}^{\ast }$,Lorsque $x \in \mathbb N$, ce nombre $\binom{x}{k}$ est bien le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $x$ éléments, même si $k>x$. Si de plus $0 \le k \le x$, alors $\binom{x}{k}=\frac{x!}{k!(x-k)!}$. Tout ceci est bien connu.• Pour tout $x\in \mathbb{R}$ (ou $x\in \mathbb{C}$) et tout $p\in \mathbb{N}$, on a : $\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}(-1)^{k}\binom{x}{k}=(-1)^{p}\binom{x-1}{p}$.Bonne journée de ce lundi de Pâques 2024.
Fr. Ch. -
J'ai décidé de simplifier le problème. Je pars de l'égalité $\sum_{k=0}^n {n \choose k}=2^n$ et j'obtiens : $\sum_{k=1}^L {n \choose k}=2^n-1-\sum_{k=L+1}^n {n \choose k}$.Puis j'utilise un logiciel de calcul pour trouver l'égalité de droite. Par exemple, je prends $n=180$ et $L=10$ et je m'aperçois que le calcul est trop important pour le logiciel (résultat faux par exemple avec $n=180$ et $L=1$). Du coup je décide de passer au logarithme et d'utiliser l'approximation de Stirling pour calcul le terme $\sum_{k=L+1}^n {n \choose k}$ en sachant que $\log(n!)=n \log(n)-n$. Mais le résultat est toujours erroné quand j'utilise le logiciel.Comment régler le problème ?
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Bonjour.
Utilise un logiciel de calcul exact. Par exemple Maple donne pour ta somme de coefficients binomiaux de 11 à 180 le nombre
1532495540865888858358347027150309183610640281478724754et pour la somme de 1 à 180 (par addition)
1532495540865888858358347027150309183618739122183602175
Qui est bien $2^{180}-1$.
Cordialement.
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Bonjour!
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