Opérateur dérivation et racine carrée

@john_john : J’essayais de rédiger ta solution au propre (celle du message original) et j’étais désespéré de ne pas y arriver. Je pouvais encore essayer longtemps.  

On pouvait remarquer que la restriction de $\Delta$ au sous-espace vectoriel $\ker(\Delta^n)$ admet deux blocs de Jordan de taille $n+1$, donc cette restriction admettait bien une racine carrée, ce qui laissait entrevoir la possibilité de l’existence d’une racine carrée pour $\Delta$.

Plus généralement, il me semble qu’on en déduit que si on enlève un nombre pair de points dans $\R$, alors $\Delta$ n’aura pas de racine carrée, tandis que si on enlève un nombre impair de points dans $\R$, alors $\Delta$ admettra des racines carrées.

Mince ! J’aimais bien ta solution.

Si on se restreint aux fonctions (localement) polynomiales et qu’on note $(g_n)_{n\in\N}$ et $(d_n)_{n\in\N}$ les « bases canoniques » respectives des fonctions polynomiales à gauche et à droite, alors on peut définir $\delta$ en reprenant ton idée avec $\delta(d_n) = g_{n-1}$ et $\delta(g_n) = d_n$ pour tout $n\in\N^\ast$ (en désignant la fonction nulle par $g_{-1}$).

Pour passer de ce cas à l’espace $\mathcal{C}^{\infty}(\R^\ast)$, il ne reste qu’un pas (de taille inconnue)…

Aurions-nous intérêt à algébriser le problème ? Si nous désignons par $E$ l'ensemble des fonctions localement polynomiales, alors $E$ est la réunion croissante des noyaux des $\Delta^k$ donc celle aussi des $\delta^\ell$ si $\delta$ existe. Ainsi, $\delta$ laisse forcément stable $E$.

À noter que la non-solution supra montre que $\Delta^2$ est une puissance quatrième

Continuons à mettre nos réflexions en commun !!

Désormais, je noterai $(f,g)$ un élément de C$^\infty(\R^*)$, càd la fonction qui à $x<0$ associe $f(x)$ et à $x>0$ associe $g(x)$.

Merci, Chaurien ! On dirait même qu'ils n'ont pas essayé le cas de $\R^*$.

MrJ : mon idée de se limiter à $E$ est une fausse (bonne ?) idée car, comme endomorphisme de ce sev, $\Delta$ est carré ; en effet, on prend $(P,Q)\mapsto (Q,P')$ mais sans remplacer $x$ par $-x$. Cela diffère du cas $C^\infty$ car les semi-fonctions polynomiales ont, elles, un prolongement naturel à $\R$ entier.

Eh oui, marco ! Tout nous dit que $\delta$ ne doit pas exister dans $\R$, mais mon idée est que $\delta$ devrait exister dans $\R^*$. Je vais essayer de voir du côté de la dérivation d'ordre fractionnaire, un $\delta$ du genre : échanger $f$ et $g$ (avec $x\leftarrow-x$), puis dériver d'ordre $1/2$, à condition qu'il consente à ne pas introduire de signe $-$ comme supra. Cela dit, je n'y crois pas vraiment, car cela doit revenir à demi-dériver deux fois sur place.