Famille libre de fonctions à signe constant
Bonjour.
Une fonction à signe constant est une application $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ telle que : $\forall x \in \mathbb R, f(x) \ge 0$ ou $\forall x \in \mathbb R, f(x) \le 0$.
Existe-t-il une famille de trois fonctions à signe constant qui soit libre dans le $\mathbb R$-espace vectoriel $\mathcal E=\mathbb R ^{ \mathbb R}$ ?
Joyeuses Pâques, 31/03/2024.
Fr. Ch.
Réponses
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$x\mapsto e^x$, $x\mapsto e^{2x}$, $x\mapsto e^{3x}$.
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Merci @gai requin .Autre question. Un $ \mathbb R$-espace vectoriel de fonctions à signe constant est-il nécessairement de dimension $1$ ?
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La somme de deux fonctions à signe constant n'est pas toujours de signe constant par exemple si f(x)=x² et g(x)=-4 , f(x)+g(x)=x²-4il n'y donc pas de structure de sev pour les fonctions de signe constant
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Une fonction à signe constant, non nulle, engendre un sous-espace vectoriel de $\mathcal E=\mathbb R ^{ \mathbb R}$, dont tous les éléments sont des fonctions à signe constant, et qui est bien sûr de dimension $1$. Je me demande s'il existe de tels sous-espaces de dimension supérieure à $1$.
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Non, ils sont tous de dimension 1.
On peut procéder ainsi : soit $V\subset \mathcal E$ un sous-ev non trivial de fonctions de signe constant. Soit $f\in V$ non nulle et $a\in \R$ tel que $f(a)\neq 0$. Pour tout $g\in V$ et $b\in\R$ le système de deux équations : $xf(a)+yg(a)=-1$ et $xf(b)+yg(b)=1$ n'a aucune solution car autrement la fonction $x\cdot f+y\cdot g$ n'aurait pas un signe constant.
Par conséquent le déterminant de ce système est nul. On en déduit que pour tout $b\in \R$, $g(b)=f(b)g(a)/f(a)$. Donc $g=\frac{g(a)}{f(a)}\cdot f$ et $V=\langle f\rangle$. -
Dans le même esprit, on peut aussi chercher la dimension maximale d'un sev de $\R^\R$ constitué de fonctions toutes monotones.
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Bonjour,
Ne s'agit-il pas d'un cône ?marc0075 a dit :il n'y donc pas de structure de sev pour les fonctions de signe constant -
Pour l'exercice de JLapin, on peut regarder l'application associant à toute fonction $f$ du sous-espace vectoriel étudié le couple $(f(a), f(b))$ où $a\neq b$ fixé.
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Si je comprends bien un espace vectoriel de fonctions monotones sur $\mathbb{R}$ est de dimension $1$ ?
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De dimension $0$, $1$ ou $2$. On peut même montrer qu'un tel espace est nécessairement de la forme$$F=\{0\},\quad F = \textrm{vect}(f)\quad\text{ou}\quad F = \textrm{vect}(f,t\mapsto 1)$$où $f$ est une fonction monotone.
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Pour l'exercice de Chaurien, on peut également déduire de l'hypothèse que l'application linéaire $\varphi_{a,b} : V \to \R^2$ définie par $\varphi_{a,b}:f \mapsto (f(a), f(b))$ est de rang au plus $1$ pour tout $(a,b)\in\R^2$. On en déduit que pour tout $(f,g)\in V^2$ et tout $(a,b)\in\R^2$, on a$$\begin{vmatrix}f(a) & g(a) \\ f(b) & g(b)\end{vmatrix} = 0.$$On en déduit bien que $f$ et $g$ sont colinéaires (comme raoul.S plus haut), donc $V$ est de dimension au plus $1$.
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Pour tous $a,x\in\R$ posons $f_a(x):= \max(0, x-a)$. Soient $\lambda_1,...,\lambda_n\in R$ et $a_1,...,a_n\in \R$ tels que $a_n < a_{n-1} < a_{n-2} < ... a_2 < a_1$. Si $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_{a_i} = 0$ alors pour tout $x \in ]a_n, a_{n-1}[$, $\lambda_n f_{a_n} (x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i f_{a_i}(x) = 0$ or $f_{a_n}(x) = 0$; donc $\lambda_n = 0$. Une récurrence entraîne avec ça la liberté de $\left (f_{a_i}\right)_{1\leq i \leq n}$ puis celle de $(f_a)_{a\in \R}$. Après on peut lisser ces fonctions en convolant pour les avoir régulières.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys : Je ne suis pas sûr de l'objectif de ton message, mais tu as exhibé un espace vectoriel admettant une base composée uniquement de fonctions de signe constant, mais toutes les fonctions de cet espace ne sont pas de signe constant.
NB : On peut aussi remarquer pour la liberté que la fonction de gauche est dérivable sur $\R$ si et seulement si tous les scalaires de la combinaison linéaire sont nuls. -
Je pense que Foys veut éxhiber une algèbre de fonctions qui séparent les points, et telle que $\min(f,g)$ et $\max(f,g)$ sont aussi dans l'algèbre.
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Soit $E$ un sous-espace vectoriel de dimension $n$ de $\R^\R$. Montrer qu'il existe $a_1<\cdots<a_n$ et $f\in E$ tels que pour tout $i$, $(-1)^if(a_i)>0$.
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Si pour tout $n$-uplet de points $(a_1,...,a_n)$ de points distincts l'application linéaire $E \subset \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{R}^n,\ f\mapsto (f(a_1),\dots,f(a_n))$ n'est pas injective sur $E$, $E$ ne peut être de dimension $n$, donc il existe $a_1<\dots<a_n$ et $f$ qui vérifient la condition requise. puisque $E$ est de dimension $n$. Le dual de $E$ est de dimension $n$. En fait c'est plutôt le bidual qu'il faut utiliser, pas le dual.
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Je viens de me rendre compte que l’utilisation de l’application $f\mapsto (f(a), f(b))$ où $a\neq b$ est très efficace pour prouver que $\dim(F)\leq 2$ si $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(I,\R)$ constitué de fonctions monotones où $I$ est un segment. Cependant déduire du cas précédent le cas $I=\R$ ne me paraît finalement pas élémentaire…
Je sais le faire mais de manière non élémentaire. Quelqu’un aurait-il une idée simple ? -
A quoi sert le fait que $I$ soit un segment sur cette page ?
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C'est parce que j'essaye d'en faire un exercice d'une difficulté raisonnable et abordable sans le déterminant pour pouvoir le poser en colle de SUP.Notons $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(I,\R)$ composé uniquement de fonctions monotones. L’intérêt du cas où $I=[a,b]$ est qu'il est facile de montrer que l'application linéaire $\varphi : F\to\R^2$ définie par $\varphi : f\mapsto (f(a), f(b))$ est injective, ce qui prouve directement que $\dim(F)\leq 2$. Je pensais que le cas général pouvait simplement s'en déduire, mais j'en doute finalement, sauf si je loupe un argument.En sortant l'artillerie, on peut utiliser le résultat classique suivant.Lemme : Une famille $(f_1,\ldots,f_n)$ d'éléments de $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$ est libre si et seulement si il existe $(x_1,\ldots,x_n)\in X^n$ tel que les vecteurs $(f_i(x_1),\ldots,f_i(x_n))\in\mathbb{K}^n$ pour $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$ forment une famille libre.Ce résultat permet de résoudre tous les exercices de la discussion assez simplement, mais je ne qualifierais pas ce résultat d'élémentaire (c'est un exercice en lui-même et la démonstration que je connais s'appuie entièrement sur le déterminant que les étudiants de SUP voient après les espaces vectoriels en général).
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On suppose que $F\ne \{0\}$. Soit $f_0\in F\setminus \{0\}$. On choisit $a$ tel que $f_0(a)\ne 0$. Quitte à diviser par $f_0(a)$ on peut supposer $f_0(a)=1$. Soit $f\in F$. Pour tout $x$, d'après le cas particulier du segment, il existe $\lambda\in\R$ tel que $f(t)=\lambda f_0(t)$ pour tout $t\in [a,x]$. En évaluant en $a$ il vient $\lambda=f(a)$, puis en évaluant en $x$ on obtient $f(x)=f(a)f_0(x)$. Ceci prouve que $f=f(a) f_0$ donc $F$ est engendré par $f_0$.MrJ a dit :Notons $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(I,\R)$ composé uniquement de fonctions monotones. L’intérêt du cas où $I=[a,b]$ est qu'il est facile de montrer que l'application linéaire $\varphi : F\to\R^2$ définie par $\varphi : f\mapsto (f(a), f(b))$ est injective, ce qui prouve directement que $\dim(F)\leq 2$. Je pensais que le cas général pouvait simplement s'en déduire, mais j'en doute finalement, sauf si je loupe un argument.
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@JLT : Ça marche bien en effet pour le cas des fonctions de signe constant (ça revient à un déterminant 2×2 de manière caché) comme tu l'as rédigé. Je l'ai d'ailleurs posé en colle hier.
Il me semble que c'est plus embêtant pour le cas où $F$ n'est que constitué de fonctions monotones (car cette fois-ci c'est un déterminant 3x3 qui est caché dans le raisonnement). -
la démonstration que je connais s'appuie entièrement sur le déterminantPas besoin de déterminant. Tu prends l’espace engendré par les vecteurs $(f_1(x),…,f_n(x))$. Si c’est un sev strict, il est inclus dans un hyperplan et un hyperplan possède une équation cartésienne particulière….
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Voici une preuve sans déterminant et sans le lemme ci-dessus pour le cas des fonctions monotones : Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\R^\R$ de fonctions monotones. Par ce qu'a dit MrJ, pour tout entier $n$, l'espace vectoriel $F_n:=\{f\cdot 1_{[-n,n]}\mid\; f\in F\}$ est de dimension finie $\leq 2$. Il existe donc un entier $N>0$ tel que $\dim(F_n)=\dim(F_N)$ pour tout $n\geq N$.
Supposons $\dim(F_N)=2$ et soit $f,g\in F$ tels que $f\cdot 1_{[-N,N]}, g\cdot 1_{[-N,N]}$ soit une base de $F_N$, à fortiori pour tout $n\geq N$, $f\cdot 1_{[-n,n]}, g\cdot 1_{[-n,n]}$ est une base de $F_n$. Soit $h\in F$ il existe $a,b\in \R$ tels que $h1_{[-N,N]}=af1_{[-N,N]}+bg1_{[-N,N]}$ et il est évident que pour tout $n\geq N$, on a encore $h1_{[-n,n]}=af1_{[-n,n]}+bg1_{[-n,n]}$. Donc pour tout $x\in \R$, $h(x)=af(x)+bg(x)$ ce qui prouve que $h\in \langle f,g\rangle$.
Le cas $\dim(F_N)<2$ est semblable.
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