Inégalité suites
Réponses
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C'est très multiplicatif tout ça : tu pourrais faire des quotients, les simplifier et les comparer à $1$.
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Salut
je note $u_n$ et $ v_n$ les premiers et second membres de chaque inégalité ...
pour A : $ u_n = \dfrac {n!}{p! (n - p)! n^p} $ et $ v_n = \dfrac { (n + 1)!}{ p! (n + 1 - p)! (n + 1)^p}$
en simplifiant et prenant les inverses il nous faut donc comparer $a_n = n^p$ et $ b_n = \dfrac {n + 1 - p} {n + 1} (n + 1)^p = (n + 1)^p - p(n + 1)^p$
or $ b_n - a_n = (n + 1)^p - n^p - p(n + 1)^p = \sum_0^{p - 1} (n + 1)^k n^{p - 1 - k} - p(n + 1)^p = \sum_0^{p - 1}\left[(n + 1)^k n^{p - 1 - k} - (n + 1)^p \right]$
et chaque [...] de la somme est négatif donc $b_n \le a_n$ donc $ u_n \le v_n$Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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@zygomathique
Je crois plutôt que cela donne ça :
$b_n = \dfrac {n + 1 - p} {n + 1} (n + 1)^p = (n + 1)^p - p(n + 1)^{p-1}$Je ne comprends pas la transformation en somme de $(n+1)^p - n^p$
Aussi plusieurs réponses peuvent être bonne.
Merci. -
aarrrhhhg damned !! ... tu corrigeras alors ... mais il me semble que le résultat ne change pas si on remplace p - 1 par p
car pour k entre 0 et p - 1 $ (n + 1)^k n^{p - 1 - k} \le (n + 1)^{p - 1} $
factorisation de $a^p - b^p = ... $Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Oui, cela ne change pas le résultat. Donc A est vraie.Une idée pour C et D ?
Merci. -
c'est un peu le même genre, non ?
on se débarasse des facteurs communs et éventuellement on regarde les inverses, on met tout dans un même membre et on factorise ...Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Pour le C, j'arrive à
$(p+1)n^p - (n+2-p)(n+1-p)(n+1)^p$
et après ?Pour le D : j'arrive à
$p\times n \times n^{p-1}- (p+1)(n-p+2)(n-p+1)(n+1)^{p-1}$
Mais après ?Je compare $n$ et $(n-p+2)(n-p+1)$
$(n-p+2)(n-p+1)-n=(n-p)^{2} + 3(n-p)+2-n \geq 0$
$p\times n \times n^{p-1}- (p+1)(n-p+2)(n-p+1)(n+1)^{p-1}\leq 0$
Donc D est vraie.
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