Inégalité suites

math65
Modifié (March 2024) dans Analyse
Bonjour
J'ai un QCM sur lequel je m'entraîne. je n’arrive pas à voir quelles réponses ci-dessous peuvent être bonnes.
J'ai déjà vu que B est fausse avec un essai $n=2$ et $p=2$ mais pour les autres, un contre-exemple ne suffit pas.
Merci.

Réponses

  • C'est très multiplicatif tout ça : tu pourrais faire des quotients, les simplifier et les comparer à $1$.
  • zygomathique
    Modifié (March 2024)
    Salut
    je note $u_n$ et $ v_n$ les premiers et second membres de chaque inégalité ...

    pour A : $ u_n = \dfrac {n!}{p! (n - p)! n^p} $  et  $ v_n = \dfrac { (n + 1)!}{ p! (n + 1 - p)! (n + 1)^p}$
    en simplifiant et prenant les inverses il nous faut donc comparer $a_n = n^p$ et $ b_n = \dfrac {n + 1 - p} {n + 1} (n + 1)^p = (n + 1)^p - p(n + 1)^p$
    or  $ b_n - a_n = (n + 1)^p - n^p - p(n + 1)^p = \sum_0^{p - 1} (n + 1)^k n^{p - 1 - k} - p(n + 1)^p = \sum_0^{p - 1}\left[(n + 1)^k n^{p - 1 - k} - (n + 1)^p \right]$
    et chaque [...] de la somme est négatif  donc $b_n \le a_n$  donc $ u_n \le v_n$

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • math65
    Modifié (March 2024)
    @zygomathique
    Je crois plutôt que cela donne ça :
    $b_n = \dfrac {n + 1 - p} {n + 1} (n + 1)^p = (n + 1)^p - p(n + 1)^{p-1}$
    Je ne comprends pas la transformation en somme de $(n+1)^p - n^p$
    Aussi plusieurs réponses peuvent être bonne.
    Merci.
  • aarrrhhhg damned !! ... tu corrigeras alors ... mais il me semble que le résultat ne change pas si on remplace p - 1 par p

    car pour k entre 0 et p - 1 $ (n + 1)^k n^{p - 1 - k} \le (n + 1)^{p - 1} $


    factorisation de $a^p - b^p = ... $

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • math65
    Modifié (March 2024)
    Oui, cela ne change pas le résultat. Donc A est vraie.
    Une idée pour C et D ?
    Merci.
  • c'est un peu le même genre, non ?

    on se débarasse des facteurs communs et éventuellement on regarde les inverses, on met tout dans un même membre et on factorise  ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • math65
    Modifié (March 2024)
    Pour le C, j'arrive à
    $(p+1)n^p -  (n+2-p)(n+1-p)(n+1)^p$
    et après ?
    Pour le D : j'arrive à
    $p\times n \times n^{p-1}- (p+1)(n-p+2)(n-p+1)(n+1)^{p-1}$
    Mais après ?
    Je compare $n$ et $(n-p+2)(n-p+1)$
    $(n-p+2)(n-p+1)-n=(n-p)^{2} + 3(n-p)+2-n \geq 0$
    $p\times n \times n^{p-1}- (p+1)(n-p+2)(n-p+1)(n+1)^{p-1}\leq 0$
    Donc D est vraie.
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