Changement de variable obscur

UItraviolet
Modifié (28 Mar) dans Analyse
Bonjour à tous, voici un exercice sur lequel je bloque, une étape n'est pas très développée et je ne vois pas comment y parvenir :


Mais voilà, lors de la majoration de $u_n$, on passe d'une intégrale sur $[0,\pi]$ à $[0,\frac{\pi}{2}]$, j'ai essayé d'y parvenir en faisant le changement de variable $t=x- \frac{\pi }{2}$ pour centrer l'intervalle en $0$ et ensuite utiliser la parité pour faire apparaître le facteur $2$. Mais sauf incompétence de ma part, (ce qui est plus que probable) ce changement de variable change le $sin^{2}(t)$ en $cos^{2}(x)$, je ne vois pas comment on retombe sur sur $sin^{2}$ ?
Merci pour votre attention,
UItraviolet
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • Tu peux garder la partie entre $0$ et $\pi/2$ et faire le changement $u=\pi-t$ pour la partie entre $\pi/2$ et $\pi$.
  • UItraviolet
    Modifié (28 Mar)
    Argh c'est terrible j'ai l'impression que je n'y arriverai jamais. Mais dans ce cas, est-ce que ma technique est toujours licite, et vient on de montrer que 
    $\displaystyle 2\int_{0}^{\pi/2}\frac{d t}{1+n^{4}\pi^{4}\sin^{2}t}=2\int_{0}^{\pi/2}\frac{d t}{1+n^{4}\pi^{4}\cos^{2}t}$ ?
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • Oui, tu peux relier les deux intégrales entre $0$ et $\pi/2$ avec le changement $u=\pi/2 - t$.
  • UItraviolet
    Modifié (28 Mar)
    Ok merci beaucoup pour votre aide.
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • Chaurien
    Modifié (28 Mar)
    Autre manière de voir les choses. Une fonction périodique a la même intégrale sur toutes ses périodes :
    $\int_{0}^{\pi }\frac{d\theta }{1+(n\pi )^{4}\sin ^{2}\theta }=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\theta }{1+(n\pi )^{4}\sin ^{2}\theta }$.
    De plus, cette dernière est calculable avec le changement de variable $t=\tan \theta$ suggéré par la règle de Bioche, mais la majoration est plus rapide.
  • Chaurien
    Modifié (28 Mar)
    On peut aussi au début considérer la série de terme général $v_n=\int_{n \pi-\frac{\pi }{2}}^{n \pi +\frac{\pi }{2}} f(x) dx$
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