Fonction de $\mathcal {M}_n(K)$ dans $K$

Si $K\ne \mathbb{F}_2$ alors toute matrice est produit de matrices diagonalisables : il suffit de le montrer pour les matrices de transvection, et on se ramène au cas $n=2$. On utilise pour cela l'égalité $\begin{pmatrix} 1 &  ab \\ 0 & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &  0 \\ 0 & b^{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &  a \\ 0 & 1\end{pmatrix} $.
Si $K=\mathbb{F}_2$ alors $f(A)=0$ pour $A$ non inversible puisque $A=PA$ où $P$ est un projecteur de rang $n-1$ qui est diagonalisable, et $f(A)=1$ pour $A$ inversible puisque $f(A)f(A^{-1})=f(I)=1$.

Petite remarque supplémentaire : Si $f:\mathcal{M}_n(K)\to K$ est une application multiplicative et non constante, alors on peut montrer qu'une matrice $A\in\mathcal{M}_n(K)$ est inversible si et seulement si $f(A)\neq 0$. Cela ne laisse pas beaucoup de possibilités dans le cas $K=\mathbb{F}_2$.

 JLT a dit :

Si $K\ne \mathbb{F}_2$ alors toute matrice est produit de matrices diagonalisables

J'ai l'impression d'avoir lu dans ce forum que le résultat annoncé par JLT est faux pour  GF(3),

Edit Ma mémoire m'a joué un tour. Ce qui est faux,  c'est l'affirmation selon laquelle Si $K\ne \mathbb{F}_2$ alors toute matrice est le produit de deux matrices diagonalisables

Bonjour

Bon matin Papa
Mais f(A)=det (A) que si A est diagonalisable, quelque choses m'échappe  pour calculer f(BCD)

fiston : $f(BCD)=f(B)f(C)f(D)={\rm det}\,(B)\,{\rm det}\,(C)\,{\rm det}\,(D)={\rm det}\,(BCD)$.

MrJ : quaternions, non ; cela reste dans les limites de ce que savaient les élèves de Spé à l'époque où les formes quadratiques étaient officiellement au programme. Peut-être est-ce encore traité en L2.

MrJ : il reste à multiplier par $2$ pour avoir une fonction multiplicative ! Est-ce la seule ?

Nota bene :  les exercices de ce genre sont utiles en début d'année ; rien de tel pour faire voir que l'intérêt de disposer d'un système de générateurs ne se limite pas au domaine de l'Algèbre linéaire.

Eh oui ! On peut aussi montrer que les matrices non inversibles sont isotropes (et non pas les autres) puis remarquer que les polynômes $q(x{\rm I}-M)$ et ${\rm det}(x{\rm I}-M)$ ont les mêmes zéros pour toute matrice $M$.

Merci John, j'étais mal réveillé ce matin

Bonjour, fiston,
je réponds seulement maintenant car, de même qu'il ne faut pas chercher Mehdi à quatorze heures, on ne trouve pas toujours john_john à 01 h 10

En fait, JLT et Math Coss ont déjà répondu à ta question ; je pense que le meilleur cadre est ${\frak M}_n(\C)$ et $f$ polynomiale. Puisque $f(M)=0$ si $M$ n'est pas inversible et que le groupe linéaire est engendré par les matrices de transvection (dont l'image par $f$ est $1$) et par les $\Delta(x)={\rm Diag}(1,...,1,x)$, il suffit de savoir calculer $f(\Delta(x))$ qui est polynomiale en $x$ et donc monomiale. Les applications cherchées sont donc celles de la forme $M\mapsto({\rm det}(M))^k$.

L'exo que j'avais proposé vient de l'X et je suppose qu'un candidat était censé savoir le résoudre sans trop d'indications ; en revanche, la méthode de JLT/Math Coss se place un cran au-dessus.

De rien, Marco ! Le fil a été instructif pour moi aussi.