Suite récurrente linéaire à coefficients constants, forme générale des solutions

mtho5
mtho5
Modifié (March 2024) dans Analyse
Bonjour
Je me questionne sur un détail sûrement très bête, mais j'essaie de comprendre. Je me base sur le livre d'analyse de M.Gourdon. Pour trouver les solutions d'une suite récurrente du type : un=a1un-1+a2un-2+....+ahun-h (désolé pour l'écriture), on passe par l'équation caractéristique, très bien et on trouve que la forme générale est de la forme: un=P1(n)r1^n+....+Pq(n)rq^n je, les ri étant solutions de l'équation caractéristique et Pi des polynômes degré strictement inférieur à la multiplicité de la racine correspondante, bref.

Pour prouver ça, il y a une preuve plutôt technique qui passe par les séries entières, mais l'auteur dit qu'en principe, on montre que les suites de la forme indiquée (avec les polynômes) sont solutions du problème, et on montre qu'elles sont toutes de cette forme par un argument de cardinalité (que je pense avoir saisi, dans l'ensemble).

Me voilà donc parti pour montrer que les suites de la forme indiquées vérifient bien l'expression de base, j'écris
 a1un-1=a1*[P1(n)r1^n-1+....+Pq(n)rq^n-1] que je développe 
Je fais de même pour chaque akun-k, je factorise par P1(n), P2(n) etc.... Puis en bidouillant l'équation caractéristique que les ri vérifient, j'arrive bien à montrer que ça marche.
En revanche, au début, lors d'un premier essai, j'ai, visiblement alors qu'il ne fallait pas, écrit a1un-1=a1*[P1(n-1)r1^n-1+....+Pq(n-1)rq^n-1]. Ce qui n'aboutissait pas. 

Je dois mal me représenter les choses mais faut-il bien omettre de remplacer n par n-1, n-2... dans les polynômes ? J'imagine que c'est parce que c'est des "faux polynômes" qui deviennent constants une fois des valeurs données au premier terme de la suite. Ou je me trompe totalement, en tout cas, ce n'est sûrement pas grand chose mais si quelqu'un comprend ce que je veux dire et à une réponse plus convaincante que la mienne, je veux bien.
Merci.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Modifié (March 2024)
    Avec deux symboles $\$$, des accolades et des _ en plus, on passe de
    un=a1un-1+a2un-2+....+ahun-h
    à 
    $u_n=a_1u_{n-1}+a_2u_{n-2}+....+a_hu_{n-h}$
    J'ai simplement écrit un=a_1u_{n-1}+a_2u_{n-2}+....+a_hu_{n-h} entre les symboles $.
    Cordialement.
  • mtho5
    mtho5
    Ok, bon à savoir, donc _ pour mettre en indice, les crochets sont une genre de parenthèse, et $ c'est pour initier la formule ? (C'est un dollar d'ailleurs ?). Je ferai l'effort à l'avenir, merci.
  • john_john
    john_john
    Bonjour,
    une méthode possible consiste en l'introduction du morphisme de décalage $\tau$ qui à la suite $(u_n)$ associe la suite $(u_{n+1})$ ; ainsi, la suite récurrente apparaît comme élément du noyau de $P(\tau)$, où $P(X)=a_h+a_{h-1}X+\dots+a_1X^{h-1}-X^h$. On décrit alors ce noyau grâce au thm de décomposition des noyaux, sachant qu'un noyau de la forme $(\tau-\lambda{\rm Id})^k$ se décrit par le biais d'une récurrence sur $k$.
  • mtho5
    mtho5
    Modifié (March 2024)
    D'accord, ça semble intéressant aussi.  Je vois le lemme des noyaux, je me pencherai dessus (je suis parti sur le Wronskien actuellement ^^) si j'en ai l'occasion. Maintenant que j'ai compris le calcul que j'expliquais, autant m'en servir. Juste la question que je me posais sur le pourquoi on n'écrit pas $P_1(n+1)$... J'ai du mal à expliquer ce qui me dérange, si vous cernez mon problème.
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