Extrema, fonctions de deux variables
Réponses
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Analyse et Synthèse.
Pour qu'un point soit un extrémum, il faut que les 2 dérivées partielles soient nulles.
Mais cette condition nécessaire n'est pas suffisante. Donc on vérifie si le point est un extrémum ou pas.
Pour les autres questions, il y aussi forcément cette démarche, sauf qu'elle est plus simple.
L'idée est de vérifier si le point obtenu (les 2 dérivées partielles sont nulles) est un extrémum, ou pas. On peut avoir en particulier un point-selleTu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Il n'y a pas de méthode générale pour statuer sur ce qu'est un point critique.Dans l'absolu on a sur la hessienne des conditions nécessaires (qui excluent donc certaines situations), des conditions suffisantes, mais en cas de hessienne nulle on ne peut pas conclure. Là pour le coup dans le 3 il fait de la hessienne sans le dire car ton expression est de degré $2$.
L'exercice, au lieu d'être un simple exercice de calcul bête et méchant, fait parfois appel à la réflexion de l'étudiant.En l'occurrence ici vu les expressions on voit sans faire de calculs que :
- le 3 va se conclure à coup de hessienne (qui au 2 près est donné par la partie quadratique de l'expression)
- le 1 se fait à vue car de la forme g(x)+h(y) avec des fonctions g et h pour lesquelles la réponse est triviale même pour un lycéen
- le 4 se fait quasiment à vue aussi car stricte monotonie de l'exponentielle, puis après on a une expression du type g(x)h(y)
- reste le 2 où moi je passerai en X,y avec X=e^x. -
Ah d'accord merci.
La notion de hessienne n'est pas traitée dans le le livre.
Je me demandais comment on pense à calculer $f_3(1+h,-1+k)$.
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Il faut montrer que $f(x,y)+8= 3x^2-2xy+3y^2-8x+8y+ 8 \geq 0$.
Et là je ne vois rien d'évident, on ne connaît pas de méthode générale pour étudier le signe d'une expression qui dépend de 2 variables.
On a $3(x-y)^2 = 3(x^2- 2x y + y^2)=3x^2 -6 xy +3y^2$.
Donc $f(x,y)+8=3(x-y)^2 +4xy -8x+8y +8$.
Et ici je bloque.
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Il faut accepter d'être bloqué et éventuellement ne jamais voir la solution, c'est ça les math. Mais en l'occurrence, une référence qui traite les extrema sans parler de hessienne, je trouve que c'est incomplet. Chercher des astuces sur cet exo particulier alors qu'il existe une méthode générale me semble une perte de temps.
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Ok merci.
Je le verrai sûrement dans le cours de spé sur le calcul différentiel.
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On a $3 (f(x,y)+8)= (3 x- y-4)^ 2+ 8 (y+1)^2 \geq 0, \forall x,y\in \R$ donc $f(x,y)\geq -8$ avec égalité ssi $y=-1$ et $3x-y-4=0$.
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Tu peux aussi voir $f(x,y)+8$ comme un polynôme en $X$, regarder son discriminant etc... comme un élève de lycée et on s'en sort.
Et ce que vient de faire @bd2017, n'est qu'une mise sous forme canonique d'un polynôme de degré 2 en $x$, ce qui revient à ce que je viens de dire.
Pour le $f(1+h,-1+k)-f(1,-1)$, c'est le signe de cette quantité pour $(h,k)$ petit qui dit si $f(1,-1)$ est un minimum ou maximum local (va revoir la définition d'un voisinage dans un espace métrique/normé). Comme il s'avère que cette quantité est TOUJOURS positive pour TOUT $(h,k)\in \R^2$, on conclut que $f(1,-1)$ est un minimum global. -
L'idée est tout de même basique, tu as trouvé un point critique, tu te places donc au point critique. En dimension $1$, si je pose $f(x)=x^2-6x$, $3$ est un point critique, pour étudier son statut à la main on calcule $f(x)-f(3)$ pour en déterminer le signe, et c'est souvent plus facile en se plaçant au point critique, c'est-à-dire poser $x=3+y$ et tout calculer en fonction de $y$. Ils ont fait la même chose en dimension 2, ce qui est tout à fait naturel, et plus encore sur cet exemple si tu as déjà fait une réduction de conique, la translation au point critique fait sauter la partie linéaire.
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@Alexique
Pas trop compris l'histoire du polynôme en $X$, il y a deux variables ici, $x$ et $y$.
Je n'ai jamais vu comment mettre son forme canonique un polynôme à deux variables.
Pour la suite, ok, on travaille au voisinage de $1$ et on généralise.
@bd2017
Joli mais je ne comprends pas vraiment comment tu fais pour trouver cette factorisation.
Je ne vois pas la méthode qui permet de s'en sortir ici.
@math2
Ok merci, non pas encore eu le temps de revoir les coniques. -
Pas depuis que j'ai terminé ma prépa, il y a très longtemps.
Et encore, je ne me souviens de rien (mis à part des changements de repères), je crois qu'on n'a pas fait grand chose sur les coniques.
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Est-ce une astuce ou une méthode générale ?À ton niveau, une astuce (introuvable).
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C'est un polynôme en $x$ dont les coefficients sont des nombres qui dépendent d'un paramètre fixé $y$. On a donc $f(x,y)+8=3x^2-x(2y+8)+3y^2+8y+8$, polynôme de degré 2 en $x$, de discriminant $\Delta(y)=(2y+8)^2-4...$. Pour la forme canonique, c'est pareil. On fixe $y$ et on fait la forme canonique en $x$. C'est plus dur si tu as une forme quadratique à 3 variables et alors, il faut connaitre la décomposition en carrés de Gauss (à connaître, mais tu vas me dire que c'est pas au programme ou je sais pas quelle bêtise).
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@Alexique
Merci j'ai réussi.
Soit $y$ fixé dans $\R$.
$P(x)=3x^2-(2y+8)x+(3y^2+8y+8)=ax^2+bx+c$.
On sait que $\boxed{P(x)=a \left( (x+ \dfrac{b}{2a} )^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right)}$
On a $\Delta =-32 (y+1)^2$.
Donc $P(x)=3 \left( (x- \dfrac{2y+8}{6} )^2- \dfrac{\Delta}{4 \times 3^2} \right)$
Après calculs on trouve : $\boxed{P(x)=\dfrac{1}{3} [ (3x-y-4)^2+ 8(y+1)^2 ]}$
Je trouve le même résultat que @bd2017 .
Comme quoi certains exos du supérieur font réviser les bases du secondaire. -
Et surtout $\Delta \leq 0$ donc $P$ est de signe constant (celui de 3) positif. Si tu cherches les extrema de $f$, ça marche aussi sans avoir besoin de connaitre le $+8$. Bref, pour les formes quadratiques, on s'en sort sans analyse, sans jacobienne ou hessienne.
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