Déterminant d'une matrice par blocs

UItraviolet · 24 Mar

Bonjour à tous, voici l'exo sur lequel j'ai une question.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/dc/5sdxdbr2x5eg.png

Voilà la solution à laquelle j'étais parvenu.
En effectuant les multiplication de matrices par blocs suivantes :
$ \begin{pmatrix}A & B \\C & D \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}D & 0 \\0 & C\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}AD & BC\\CD & DC\\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}AD & BC\\DC & DC\\\end{pmatrix}$
Puis aux $n$ premières colonnes de cette matrice, j'y soustrait les $n$ dernières et je tombe sur la matrice suivante :
$ \begin{pmatrix}AD - BC & BC \\0 & DC \\\end{pmatrix} $

dont le déterminant vaut : $\det(AD-BC)\times \det(DC)$

En reprenant depuis le début, j'aboutie donc à l'égalité suivante :
$\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\times \det(DC) = \det(AD-BC)\times \det(DC)$
Ce qui me permet de répondre aux deux questions du même coup, que $D$ soit inversible ou pas.
Où est-ce que j'ai bien pu commettre une arnaque ?
Merci d'avance pour votre attention,
UItraviolet

Héhéhé · 24 Mar

Pour aboutir, il faut simplifier par $\det(DC)$ qui est nul si $D$ n'est pas inversible.

NicoLeProf · 24 Mar

Bah, $\det(DC)=\det(D) \det(C)=0$ si $D$ n'est pas inversible donc dans ce cas, ta preuve ne marche pas il me semble, on aura $0=0$ comme égalité au lieu de l'égalité souhaitée. (On ne pourra pas diviser par $\det(DC)$ puisqu'il est nul dans ce cas).
D’où la disjonction de cas.

Chaurien · 25 Mar

PROLONGEMENT

• Soit $A\in \mathcal{M}_{n}(K)$, $B\in \mathcal{M}_{n}(K)$, $C\in \mathcal{M}_{n}(K)$, $D\in \mathcal{M}_{n}(K)$ et soit $M=\left[
\begin{array}{cc}
A & B \\
C & D
\end{array}
\right] \in \mathcal{M}_{2n}(K)$.

Si $CD=DC$, alors $\det M=\det (AD-BC)$.

Si $BD=DB$, alors $\det M=\det (DA-BC)$.

Si $AB=BA$, alors $\det M=\det (DA-CB)$.
Si $AC=CA$, alors $\det M=\det (AD-CB)$.

• Si l'on prend $A=D=\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}
\right]$ et $B=C=\left[
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}
\right]$, alors

$M=\left[
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right] $

et $\det M=-1$ n'est égal à aucun des nombres :

$\det(AD-BC)$, $\det (AD-CB)$, $\det (DA-BC)$, $\det (DA-CB)$, qui sont tous nuls.

UItraviolet · 25 Mar

Ok merci à tous, je crois que la fatigue m'a joué des tours en pensant que la b/ était bonne par le même coup. En revanche, on est donc bien d'accord que ma méthode fonctionne pour la a/, je trouve qu'elle est plus naturellement amenée que celle du corrigé, même si in fine, et consiste à faire les mêmes opérations. Pour la b/ ça m'a enfin permis de comprendre l'utilité derrières l'utilisation du polynôme que j'avais vu une première fois dans cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=agM_Gf53B_Q .

Merci @Chaurien pour le prolongement

Déterminant d'une matrice par blocs

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