Preuve d'égalité de sous-espaces vectoriels ayant la même codimension finie

UItraviolet
Modifié (22 Mar) dans Algèbre
Bonjour à tous,
je me permets de vous soumettre ce problème sur lequel je bloque.

Voilà, je ne parviens pas à comprendre pourquoi l'application $f$ est surjective. On est d'accord que si l'on veut montrer que l'application est surjective, cela revient à montrer que pour tout élément de $E$, sa classe d'équivalence dans $F$ est "atteinte" par une classe d'équivalence dans $G$. Mais comme $G$ est inclus dans $F$, ses classes d'équivalences sont "moins nombreuses". J'essaie de faire un parallèle qui n'est pas judicieux je pense avec l'arithmétique dans $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et ce n'est pas du tout clair pour moi. Est-ce que vous pourriez m'aider à me faire ressentir plus clairement l'intuition derrière la preuve. 

Bien à vous,
UItraviolet. 
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • UItraviolet
    Modifié (22 Mar)
    Ok je crois que j'ai compris mon erreur, j'ai confondu $f$ avec l'application $\bar{x}\mapsto\dot{ \bar{x}}$
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • Mais tout de même, dans ce cas c'est assez immédiat que l'application soit surjective, je ne vois pas à quel moment ça utilise les hypothèses de l'exo. Vu que selon moi ça revient à montrer que $x \mapsto \dot{x}$ est surjective ce qui est immédiat non?
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • Barjovrille
    Modifié (22 Mar)
    Bonjour, si je note $\pi_G : E \to E/G$ l'application $ x \mapsto \bar{x}$ et $\pi_F : E \to E/F$ l'application $x \mapsto \dot{x}$.
    Peux-tu trouver une relation entre $f$, $\pi_G$ et $\pi_F$ ?
    A l'aide de cette relation tu pourras conclure sur la surjectivité de $f$.
  • Barjovrille
    Modifié (22 Mar)
    Je n'avais pas bien lu ton troisième message, tu ne peux pas définir la fonction $f$ si tu n'as pas l'hypothèse $G \subset F$. Les autres hypothèses sont utilisées explicitement.
  • Math Coss
    Modifié (22 Mar)
    Le parallèle avec $\Z/n\Z$ est très pertinent : si $d\mid n$, i.e. si $n\Z\subset d\Z$, alors l'application $\Z\to\Z/d\Z$ se factorise à travers $\Z/n\Z$ : \[\xymatrix{\Z\ar[rr]^{\pi_n}\ar[dr]_{\pi_d}&&\Z/n\Z\ar[dl]^f\\&\Z/d\Z}\]Moralement, si on connaît $f$ modulo $10$, on le connaît modulo $2$. Plus précisément, si on se donne une classe $\chi$ modulo $2$, on trouve $x$ entier tel que $\chi=\dot x$ et $f\bigl(\bar x\bigr)=\dot x$ donc $f$ est surjective.
    Ici, de même, on a le diagramme commutatif \[\xymatrix{E\ar[rr]^{\pi_G}\ar[dr]_{\pi_F}&&E/G\ar[dl]^{f}\\&E/F.}\]Comme tu sembles l'avoir compris, la surjectivité de $f$ découle de celle de $\pi_F\colon x\mapsto\dot x$ et de la relation $\pi_F=f\circ\pi_G$ que @Barjovrille aurait voulu te faire expliciter.
    Pour ce qui est de l'intuition, voici un exemple de quotient : on prend pour $E$ l'espace des suites à valeurs complexes ; $G$ l'espace des suites nulles jusqu'au rang $7$ inclus ; $F$ l'espace des suites nulles jusqu'au rang $4$ inclus. Quotienter par $G$ consiste à négliger les suites de la forme $(0,0,0,0,0,0,0,0,\#,\#,\#,\dots)$ donc un élément de $E/G$ ressemble à $(u_0,u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6,u_7,*,*,*,\dots)$. Passer de $E/G$ à $E/F$ consiste à négliger trois coefficients de plus, on aboutit à des éléments de la forme $(u_0,u_1,u_2,u_3,u_4,*,*,*,*,*,*,*,\dots)$.
  • Wow merci beaucoup pour vos réponses très claires et pour le temps que vous y avez consacré. Ça m'a vraiment bien aidé. Encore merci, juste pour une petite précision, on est d'accord que dans votre second diagramme @Math Coss il est bien question de $E/G$ et $F/G$ ?
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • Math Coss
    Modifié (22 Mar)
    Oui, bien sûr, je rectifie.
    Puisque j'y suis, on a donc une application naturelle $f$ de $E/G$ vers $E/F$ qui envoie $\bar x$ sur $\dot x$ pour tout $x\in E$. Elle est surjective et son noyau est $F/G$. Si les codimensions de $F$ et $G$ sont égales, c'est une bijection donc $F/G=0$, c'est-à-dire $F=G$.
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