Dérivée selon un vecteur

OShine
Modifié (20 Mar) dans Analyse
Bonsoir,
Je ne comprends pas la deuxième partie du corrigé de la question 1.

Réponses

  • Zermel0
    Modifié (20 Mar)
    Ils disent dans l'énoncé qu'il faut montrer que $t \mapsto f(tv)$ est dérivable en 0 pour tout vecteur v = (h,k).
    Si h est nul, f(tv) = f(0,tk) = 0. Donc $t \mapsto f(tv)$ est la fonction nulle, qui est dérivable en 0.
    Si k est nul, c'est pareil mais on a f(th,0) =0.
    Si v = (h,k) avec h non nul et k non nul,
    $t \mapsto f(tv)$ est dérivable en 0 ssi le taux d'accroissement admet une limite finie
    Le taux d'accroissement c'est :
    $\frac{f(tv) - f(0v)}{t - 0} = \frac{f(tv) - f(0,0)}{t} = \frac{f(tv)}{t} = \frac{\frac{(th)^2tk}{(th)^4 + (tk)^2}}{t} = \frac{t^2(h^2k)}{t^2(t^2h^4 + k^2)} = \frac{h^2k}{t^2h^4 + k^2}$
    qui tend vers $\frac{h^2k}{k^2}$ quand $t$ tend vers $0$, c'est-à-dire $\frac{h^2}{k}$ qui est un réel fini. ($k$ est non nul).
    Donc $f$ admet une dérivée (directionnelle) selon n'importe quel vecteur.
    (ça donne faim tout ça :D Pour ceux qui auront la ref XD)
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • OShine
    Modifié (21 Mar)
    Merci, super clair  B)
    Je n'avais pas bien saisi qu'ici on a $p=(0,0)$. Je me suis mélangé entre $t$ qui tend vers $0$ et le point de $\R^2$ $p=(0,0)$.
  • Chaurien
    Modifié (21 Mar)
    Pour une fonction $f : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$, notons $f'_v(0,0)$ la dérivée d'une fonction $f$ selon le vecteur $v \neq(0,0)$ au point $(0,0)$. Si la fonction $f$ est différentiable en $(0,0)$, alors cette dérivée existe, et  l'application $v \mapsto f'_v(0,0)$, prolongée par $(0,0) \mapsto 0$, est linéaire.
    Pour la fonction étudiée ici, cette application $v \mapsto  f'_v(0,0)$ est nulle, donc linéaire. Et pourtant $f$ n'est pas même continue ! C'est un excellent contre-exemple pour montrer qu'il ne faut pas ajouter de faux théorèmes aux théorèmes du cours.
  • math2
    Modifié (21 Mar)
    Pour compléter ce que dit Chaurien, nous avons en fait (au moins) trois notions de différentielle (ou dérivée) :
    - celle de Fréchet qui est l'usuelle
    - celle de Gateaux, c'est le cas ici : les dérivées directionnelles existent et l'application qui au vecteur associe la dérivée selon ce vecteur est linéaire continue. Cette notion, comme le rappelle Chaurien, n'implique pas la continuité
    - celle de Hadamard (que l'agrég 1979 appelait "quasi-différentielle"), intermédiaire : on dérive selon les courbes
    Nous avons F => H => G avec des réciproques en général fausses, toutefois nous avons des partielles :
    G + (localement) lipschitzien implique H
    en dimension finie H implique F.
  • Zermel0
    Modifié (21 Mar)
    Avec égalité des trois en dimension 1... Bien évidemment !
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • zozo69
    Modifié (21 Mar)
    OShine a dit super clair, sauf pour toi.
    Dîfférentiele de Fréchet et différentielle de Gâteaux, tu comprends ?
  • À qui parles-tu @zozo69 ?
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • La notion de différentielle n'est pas abordée dans le cours de sup.
  • Mais nul besoin de cette notion pour répondre à la question.
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