Unicité de la dimension des sous-variétés

Comment voir dans l'une des définitions, l'unicité de la dimension d'une sous-variété de $\mathbb{R}^n$ ?
La pensée ne préexiste pas à la langue et à ses formes, car c’est en parlant, fût-ce en soliloquant, que je pense. — Hegel

Réponses

  • C'est la dimension de l'espace tangent en un point (et la dimension d'un espace vectoriel est unique).
  • Démonstrator
    Modifié (17 Mar)
    @JLT Ce n'est pas ma question : dans chacune des quatre définitions de sous-variété, il intervient un entier $p$ (voir sur Bibmaths par exemple) que l'on appelle dimension de la sous-variété. Peut-on à partir de l'une de ces définitions déduire l'unicité de cet entier $p$ ?
    La pensée ne préexiste pas à la langue et à ses formes, car c’est en parlant, fût-ce en soliloquant, que je pense. — Hegel
  • En tout point $x$ de la sous-variété $M$, l'ensemble des $f'(0)$ où $f:[0,1]\to M$ est $C^1$ avec $f(0)=x$, est un espace vectoriel de dimension $p$. Je ne vois pas pourquoi ça ne te satisfait pas.
  • Poirot
    Modifié (17 Mar)
    Il faut bien sûr que la variété soit connexe pour garantir l'unicité de la dimension.
  • Ah j'avais peut-être mal compris la question si j'en crois la réponse de Poirot.
  • Je ne suis pas certain de bien répondre à la question, mais l'unicité de la dimension pour une variété provient du fait qu'il n'y a pas d'isomorphisme linéaire d'un espace vectoriel de dimension $n$ vers un autre de dimension $m$ différente de $n$. Si une variété avait "deux" dimensions différents $n$ et $m$, en regardant les espaces vectoriels tangents (en regardant successivement la variété comme variété de dimension $n$ et $m$), on aurait un isomorphisme entre espaces vectoriels de dimension différentes.
  • @Poirot Selon mon cours, une sphère et une droite ne la rencontrant pas ne forment pas une sous-variété de l'espace, par exemple. C'est pour ça que votre réponse m'étonne... Mais peut-être que je nage complètement.
    La pensée ne préexiste pas à la langue et à ses formes, car c’est en parlant, fût-ce en soliloquant, que je pense. — Hegel
  • Là, on ne nage pas, on se noie dans l'imprécision. Quelles sont tes mystérieuses quatre définitions ? Cites-en au moins une, qu'on sache si « tes » sous-variétés sont connexes ou pas, et si elles le sont, dis pourquoi la réponse de @JLT ne te convient pas.
  • Démonstrator
    Modifié (17 Mar)
    @Math Coss J'ai donné une référence plus haut répondant exactement à votre question. La réponse de @JLT ne me convient pas, car dans le même message précédent j'ai explicitement demandé une justification directement à partir des quatre définitions équivalentes, que j'ai trouvée entre temps (à partir de deux redressements locaux associés aux dimensions $k,k'$, on obtient un isomorphisme linéaire entre $\mathbb{R}^k$ et $\mathbb{R}^{k'}$). D'ailleurs, la remarque de @Poirot montre qu'elle se mord la queue en cela qu'elle ne démontre que l'unicité de la dimension en un point.
    La pensée ne préexiste pas à la langue et à ses formes, car c’est en parlant, fût-ce en soliloquant, que je pense. — Hegel
  • JLT
    JLT
    Modifié (17 Mar)
    La définition de bibmaths est celle-ci

    La variété n'est pas supposée connexe, mais l'entier $p$ est donné au départ, donc on ne s'autorise pas des composantes connexes de dimensions différentes. Si la question est de savoir si une variété peut à la fois être de dimension $p$ et de dimension $p'\ne p$, il me semble que ma première réponse est valable.
  • S’il existe un homéomorphisme entre deux ouverts de R^n et de R^m alors n=m.
    Donc il suffit d’aller lire dans deux cartes pour se rendre compte qu’on ne peut pas changer de dimension entre les cartes.
    Ou des parametrisations si on veut… même conclusion.

    Je crois que ça se démontre avec de la topologie algébrique… mon apport est d’un intérêt maigre désolée 
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (17 Mar)
    C'est plus simple ici que dans le contexte des variétés topologiques. C'est une conséquence directe que s'il existe un difféomorphisme entre un ouvert non vide $U$ de $\R^p$ et un ouvert non vide $V$ de $\R^q$ (comme l'application de transition entre deux cartes de la variété), alors $p=q$, car la différentielle en tout point de $U$ est une application linéaire bijective de $\R^p$ dans $\R^q$.

    Ça revient à l'argument de JLT sans parler d'espace tangent.
  • Math Coss
    Modifié (17 Mar)
    C'est trop cher de mettre un lien ? Demander du temps de réflexion, c'est une chose ; exiger du temps de recherche web pour trouver une page, même si c'est moins que pour taper ce paragraphe, c'est méprisant.
    Dans les définitions, ce n'est pas la notion de sous-variété qui est définie mais la notion de variété de dimension $p$. La réunion d'une sphère et d'une droite de $\R^3$ n'entre pas dans cette définition en effet.
    L'intérêt de la remarque de @JLT est d'être intrinsèque, i.e. de s'affranchir des choix que l'on fait au moment où l'on définit une sous-variété : paramétrage version 1, paramétrage version 2, équation implicite ou redressement. On peut la traduire dans chacune des versions moyennant un effort comparable à celui de chercher la page idoine de bibmaths :
    1. un vecteur tangent à $M$ en $x$ est un élément du noyau de la différentielle $\mathrm{d}f_x$, qui est de rang constant ; la dimension du noyau est $p$, elle est constante sur $U$ et donc sur $M$ si $M$ est connexe ;
    2. un vecteur tangent à $M$ en $x$ est l'image d'un vecteur de $\R^p$ par $\mathrm{d}f_0$, qui est injective : la dimension de l'image est $p$, elle est constante sur $V$ donc sur $U\cap M$ donc sur $M$ si $M$ est connexe ;
    3. je préfère parler de $g=f^{-1}$ ; un vecteur tangent est l'image d'un vecteur de $\R^p\times\{0\}$, qui est lui-même l'espace tangent au modèle de la sous-variété, par la différentielle $\mathrm{d}g_0$, qui est un isomorphisme : la dimension de $\mathrm{d}g_0(\R^p\times\{0\})$ est $p$ et elle est constante sur un voisinage de $0$ dans $\R^p\times\{0\}$ donc sur $M$ si $M$ est connexe ;
    4. un vecteur tangent à $M$ en $x$ est l'image d'un vecteur de $\R^p$ par $\mathrm{d}f_0$, qui est injective : la dimension de l'image est $p$, elle est constante sur $V$ donc sur $U\cap M$ donc sur $M$ si $M$ est connexe.
    Bref, les définitions ont un caractère local et non ponctuel. Cela veut dire que la dimension est localement constante et donc, si la sous-variété est connexe, elle est constante. Si elle ne l'est pas et si on se dit que $p$ peut varier d'une composante à l'autre... eh bien, il faut voir ce que l'on convient.
  • Démonstrator
    Modifié (25 Apr)
    @JLT OK, c'est clair maintenant. Question de convention, en fait. 

    @MrJ Pourquoi est-ce plus difficile dans le cas des variétés topologiques ? Ne peut-on déduire que $n = m$ s'il existe un homéomorphisme entre une boule de $\mathbb{R}^n$ et une boule de $\mathbb{R}^m$ ?

    @Math Coss Je ne vois pas d'où vient cette agressivité. Je ne vous demande rien ! Si vous ne souhaitez pas répondre, passez votre chemin. 
    Je ne suis pas confiant pour partager à tout va des liens de contenus dont j'ignore la protection par droits d'auteur.
    La pensée ne préexiste pas à la langue et à ses formes, car c’est en parlant, fût-ce en soliloquant, que je pense. — Hegel
  • Ne peut-on déduire que $n=m$ s'il existe un homéomorphisme entre une boule de $\mathbb{R}^n$ et une boule de $\mathbb{R}^m$ ?

    Ce n'est pas trivial du tout même si plutôt intuitif. C'est une conséquence du théorème de l'invariance du domaine.

  • @raoul.S Yes !
    La pensée ne préexiste pas à la langue et à ses formes, car c’est en parlant, fût-ce en soliloquant, que je pense. — Hegel
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