Lignes de niveau

OShine
Modifié (17 Mar) dans Analyse
Bonjour
Je ne comprends pas la dernière phrase de l'exemple 16.
Pourquoi s'il est radial il est orthogonal aux lignes de niveaux ?
Pas compris non plus pourquoi les lignes de niveau sont des cercles centrés en O.

Réponses

  • Zermel0
    Modifié (17 Mar)
    Une droite reliant le centre à un point d'un cercle est perpendiculaire à la tangente au cercle en ce point.
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • Je n'ai pas compris.
    J'aimerais démontrer dans l'exemple $16$, que tout ce qui est colinéaire à $(a,b)$ est orthogonal aux lignes de niveau $\{ (a,b) \in \R^2 \ | \ f(a,b)=c \}$ mais je ne vois pas comment.
    Pas compris non plus pourquoi les lignes de niveau sont des cercles centrés en $0$.

    $\{ (a,b) \in \R^2 \ | \ (a^2+b^2)^2=c \}$.
    Comment on peut obtenir l'équation d'un cercle alors qu'il y a une puissance $4$ ? 
    $(a^2+b^2)^2=c \iff a^4+2a^2 b^2+ b^4=c$.
  • Euh... J'ai un doute, c'est premier degré ?
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • Les deux questions que tu poses font appel au programme de spé maths de 1ère (et il y a quelques années, c'était au programme de 3ème) !!!
    1) Équation d'un cercle (de centre $(0,0)$, qui plus est !) dans le plan.
    2) Propriété de la tangente au cercle : elle est orthogonale au rayon
  • noobey
    Modifié (17 Mar)
    $X^2 = a \iff ...$
  • OShine a dit :
    $\{ (a,b) \in \R^2 \ | \ (a^2+b^2)^2=c \}$.
    Comment on peut obtenir l'équation d'un cercle alors qu'il y a une puissance $4$ ?
    Et cette question est de niveau collège (fonction racine carrée).

  • OShine
    Modifié (17 Mar)
    Je ne comprends pas pourquoi vous parlez de tangente alors que le livre ne mentionne pas le mot "tangente".

    L'équation d'un cercle de centre $(0,0)$ est $X^2+Y^2=R^2$ ici on ne sait pas si $c$ est positif ou négatif et il y a des puissances $4$.

    Ca veut dire quoi colinéaire à $(a,b)$ ? $(a,b)$ est un point et pas un vecteur, ça n'a pas de sens.
  • Purée j’ai eu peur qu’il réponde « bah non c’est quatrième degré »
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • Que signifient les 3 premières lignes du document scanné ?
  • lourrran
    Modifié (17 Mar)
    $(a^2+b^2)^{20} = r^{20}$ est une équation de degré 20.
    $a$ et $b$ étant des réels, elle se simplifie facilement, et on obtient l'équation d'un cercle. Malgré ce degré 20.

    @Zermel0 : oui, c'est surprenant, mais notre prof de maths qui prépare l'agreg sèche régulièrement sur des questions comme ça.
    Il lit des bouquins bac+5, mais il trébuche systématiquement sur des trucs de niveau collège.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Zermel0
    Modifié (17 Mar)
    Votre prof de maths ?
    Lit des bouquins bac+5 ?
    Mais l’agrégation n’est pas bac+5…
    Il trébuche sur des bêtises comme ça ?
    Rien ne va dans ce message…

    J’ai des soucis mentaux mais je n’irai pas enseigner si je ne peux pas faire ça…
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • Si $c<0$, alors l'ensemble $A= \{ (a,b) \in \R^2 \ | \ (a^2+b^2)^2=c \}$ est vide.
    Supposons $c \geq 0$.
    Alors : $(a^2+b^2)^2=c \iff a^2+b^2= \sqrt{c}$ donc $A$ est le cercle de centre $(0,0)$ est de rayon $\sqrt{c}$.

  • Si $c$ est strictement négatif, la ligne de niveau est encore plus simple à décrire.... (et, techniquement, le gradient est quand même orthogonal à cette ligne de niveau !)
  • OShine
    Modifié (17 Mar)
    bisam a dit :
    Les deux questions que tu poses font appel au programme de spé maths de 1ère (et il y a quelques années, c'était au programme de 3ème) !!!
    1) Équation d'un cercle (de centre $(0,0)$, qui plus est !) dans le plan.
    2) Propriété de la tangente au cercle : elle est orthogonale au rayon
    Je ne comprends pas où intervient le rayon et la tangente dans l'exemple.
    L'énoncé ne parle pas de tangente ni de rayon.
    On a juste le "colinéaire à $(a,b)$". Je ne vois pas le rapport avec le cercle et le rayon.
  • C’est écrit au tout début de ton premier screen… 
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • zygomathique
    Modifié (17 Mar)
    Salut
    dès la troisième ligne du premier screen on te donne un produit scalaire ... donc un produit scalaire de deux vecteurs dont un est truc
    donc si ensuite on te dit que truc est colinéaires à bidule, c'est que bidule est considéré en tant que vecteur ... tout comme 2 est colinéaire à 3 dans  $ \R$ 
    et tu devrais savoir qu'un gradient est un vecteur !!

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • OShine
    Modifié (17 Mar)
    J'ai compris le premier screen avec le produit scalaire.

    La problème est ce qui suit, il me semble que c'est une vérification du résultat énoncé dans le gros paragraphe. C'est surtout le passage en gras qui me pose problème. 

    On obtient bien que $\nabla f(a,b)$ est radial c'est-à-dire colinéaire à $(a,b)$. 
    Il est donc bien orthogonal aux lignes de niveau $\{ (a,b) \in \R^2 \ | \ f(a,b)=c \}$, qui sont ici les cercles centrés en $(0,0)$.

    Comment on sait que ce qui est colinéaire à $(a,b)$ représente les rayons du cercle ? 
    Je ne sais pas ce qu'est un vecteur colinéaire à un point.
  • Zermel0
    Modifié (17 Mar)
    Je suis peut-être devenue aigre par les remarques des autres posts... Mais purée @OShine dis moi que tu n'enseignes pas s'il te plaît... pas au lycée au moins...
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • @Zermel0
    Tu n'es pas obligé de répondre, on n'est pas ici pour parler du niveau des gens, mais pour parler maths.
    Si t'es douée, tant mieux pour toi. 
  • @Zermel0 : Pour aller observer des jeunes professeurs en stage depuis des années, je peux te dire qu'OShine est loin d'être le pire que j'ai pu voir. Il est clair qu'il commet des fautes impardonnables (par exemple il n'est toujours pas capable d'identifier quel est le bon rayon du cercle...) mais il a le mérite de continuer sa formation en maths, ce que bon nombre de profs en place ne font plus. 
  • Zermel0
    Modifié (17 Mar)
    Aïe.
    J'espère être une bonne enseignante si j'en redeviens une...
    Je grimace déjà à l'université...
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • Peut-être que $(a,b)$ est confondu avec le vecteur $\vec{OM}$ où $M(a,b)$.
    On en déduit que les vecteurs colinéaires à $(a,b)$ sont les vecteurs colinéaires aux vecteurs qui définissent les rayons du cercle ce qui donne le résultat énoncé par bisam.

  • Zermel0
    Modifié (17 Mar)
    Ah mais c'est ça qui te bloque ?
    R^2 a une structure d'espace vectoriel... Donc ses éléments sont des vecteurs.
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • NicoLeProf
    Modifié (17 Mar)
    Ces notions ne sont pas faciles. Il faut apporter des précisions et lire des cours à ce sujet OS, voici ce que j'ai trouvé :
    -> On se place en un point $(a, b)$ où les deux dérivées partielles ne s’annulent pas en même temps, c’est-à-dire $\nabla f (a, b)$ n’est pas le vecteur nul. Considérons $\mathscr{C}$, une ligne de niveau de $f$ qui passe par ce point $(a, b)$. Le théorème des fonctions implicites montre qu’il est possible de trouver une paramétrisation de $\mathscr{C}$ au voisinage de $(a, b)$. Notons $\gamma : [−1 , 1] → R^2, \text{ } t \longmapsto \gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))$ cette paramétrisation, en supposant que $\gamma(0) = (a,b)$.
    -> La tangente à une ligne de niveaux en un point $(a,b)$ est la droite passant par le point $(a,b)$ et de vecteur directeur le vecteur dérivé : $\gamma'(0)=(\gamma_1'(0),\gamma_2'(0))$.
    -> On dit qu'un vecteur $ \vec{v}$ est orthogonal à une ligne de niveau $\mathscr{C}$ en $(a,b)$ s'il est orthogonal à la tangente en ce point donc (par la deuxième flèche ci-dessus) si $\langle \vec{v} , \gamma'(0) \rangle=0$.
    Dans le cadre de l'exemple maintenant, si je prends une ligne de niveau (i.e : un cercle de centre $O(0,0)$), comme le gradient est colinéaire à $(a,b)$ (i.e : colinéaire au vecteur $\overrightarrow{OA}$ où $A(a,b)$), alors le gradient est bien orthogonal à la tangente à cette ligne de niveau au point $(a,b)$. On retrouve bien la propriété : la tangente à un cercle en un point du cercle est perpendiculaire au rayon passant par ce point.
    Figure à l'appui :

    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Je me demandais récemment pourquoi il n'y aurait pas une rubrique "les cours particuliers (publics) d'Oshine" sur ce forum.
    Ou même un chat qui lui serait dédié pour lui fournir à l'œil, des cours particuliers. On pourrait ainsi, accompagné d'un bol de pop-corn, s'esclaffer en direct, en mode voyeur, en lisant les rodomontades, en direct live, de ses profs (car il a la chance d'en avoir plusieurs) ainsi que les émotions provoquées par ses questions du type "oh-non-ce-n-est-pas-possible-de-demander-ça", ponctuées par des "nan mais sérieusement tu demandes ça et tu es enseignant ?! Tout fout l'camp !" .
    Il y a là de quoi amener du trafic sur ce forum.
  • Le problème, ce n'est pas OShine. 
    L'EN l'a admis au lycée, puis lui a donné un BAC, puis l'a admis en enseignement supérieur, puis lui a donné un diplôme d'ingénieur : l'EN lui a menti pendant toutes ces années.
    Puis il s'est frotté au monde de l'entreprise, et là, la supercherie est devenue flagrante. Les diplômes qu'on lui avait donnés étaient fictifs, ils ne reflétaient aucune compétence.
    Et du coup, OShine est retourné dans ce monde totalement virtuel qu'est l'EN.

    Et comme dit Cyrano, OShine n'est pas un cas isolé.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Non seulement pas un cas isolé mais j'insiste : meilleur en maths que la moyenne (oui oui.)
    Au moins OShine a-t-il compris à quel jeu il joue quand il fait des exercices de mathématiques. Il sait que ce sont des exercices formels (d'ailleurs il n'a pas vraiment de lacune en logique) où chaque ligne doit être justifiée. C'est précisément parce qu'il s'est donné pour mission de tout comprendre jusqu'à la moindre micro-étape qu'il pose autant de questions. Là où beaucoup d'étudiants n'ont pas ce but et se contentent de faire de l'esbrouffe (ou du par coeur) aux examens oraux sans comprendre les preuves en profondeur. 

    Ce forum étant peuplé soit de profs du supérieur soit de profs du secondaire avec un niveau et un recul exceptionnel (non ce n'est pas de la flagornerie, je vous rassure), nos amis intervenants réguliers n'ont aucune idée du niveau abyssal d'un prof de collège/lycée moyen. S'ils le savaient, ils seraient beaucoup plus tendres avec OShine. 
  • bd2017
    Modifié (18 Mar)
    Bonjour
    Si j'ai bien compris, la ligne de niveau des certifiés (nouvelle génération) c'est $x^2+y^2=-1.$
     
  • noobey
    Modifié (18 Mar)
    Honnêtement quand Oshine blablate sur les sujets de concours sans les avoir passés, va sur des vidéos de maths sur youtube pour dire qu'il aurait mieux fait que tout le monde, fait pendant 3 mois un sujet ENS dont il ne comprend pas une seule question, là y a de quoi critiquer.

    Mais quand Oshine se remet à des exos de sa portée, sans prétention afin de préparer l'agrégation interne je pense qu'il faudrait être un peu plus clément avec lui
  • D’autant plus qu’il y a un biais dans les remarques tout-à-fait justes de Cyrano ci-dessus sur le niveau des stagiaires car on pourrait aussi les appliquer à des agrégés hors-classe. 

  • OShine
    Modifié (18 Mar)
    @NicoLeProf
    Merci ! Les dessins ça aide bien pour comprendre les fonctions de 2 variables.
    Le théorème des fonctions implicites est hors-programme, il n'est pas abordé dans mon livre. 

    Le chapitre sur les fonctions à deux variables je ne le trouve pas dur, mais il y a beaucoup de formules à retenir, règle de la chaîne, etc...

    Après les exercices d'agreg docteur ne sont pas simples, mais j'imagine qu'e ça reste plus faisable que les exercices d'ENS que je sortais à l'époque  :'(
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