Droite d'Euler du triangle de Gergonne

Yannguyen
Yannguyen
dans Géométrie
Bonsoir

Montrer que la droite d'Euler du triangle de Gergonne est la droite $OI$, joignant le centre $O$ du cercle circonscrit au centre $I$ du cercle inscrit !
Cordialement,
Yann


P.S. Le triangle de Gergonne de $(ABC)$ est le triangle polaire de $I$.

Réponses

  • Yannguyen
    Yannguyen
    Autrement dit, la droite d'Euler d'un triangle contient le centre du cercle circonscrit à son  triangle tangentiel.

    Cdt

  • pappus
    pappus
    Mon cher Yann
    Je connais le triangle polaire d'un triangle mais pas celui d'un point.
    Peux-tu nous rappeler sa définition?
    Amitiés
    pappus
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Ne faut-il pas plutôt, évidemment, lire "triangle podaire" ("pedal triangle" en anglais) ?
    Bien amicalement, JLB
  • Yannguyen
    Yannguyen
    Il s’agit bien sûr du triangle podaire de $I$.  Pardon
    Jelobreuil a vu juste. 

    Le triangle de Gergonne est le triangle dont les sommets sont les points de contact du cercle inscrit avec les côtés. 

    💐
  • Rescassol
    Rescassol
    Modifié (12 Mar)
    Bonjour,

    Avec Morley inscrit:
    % Yannguyen - 11 Mars 2024 - Droite d'Euler du triangle de Gergonne

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW du cercle inscrit (triangle de Gergonne)

syms u v w

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v; % Le suffixe B veut dire conjugué
wB=1/w;

s1=u+v+w; s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; % Fonctions symétriques
s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3;  % Conjugués

% Centre du cercle circonscrit au triangle ABC
o=2*s1*s3/(s1*s2-s3); oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B);
% H(s1) est l'orthocentre du triange de Gergonne UVW
Nul=Factor(s1*oB-s1B*o)   
% Nul=0 donc O, I, H sont alignés
    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Rescassol
    Modifié (12 Mar)
    Bonjour,

    Ou, en barycentriques:
    % Yannguyen - 11 Mars 2024 - Droite d'Euler du triangle de Gergonne

clc, clear all, close all

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway
Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre du cercle inscrit dans le triangle ABC
I=[a; b; c];
% Centre du cercle circonscrit au triangle ABC
O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc];
% Triangle de Gergonne
A1=[0; 1/(a-b+c); 1/(a+b-c)];
B1=[1/(-a+b+c); 0; 1/(a+b-c)];
C1=[1/(-a+b+c); 1/(a-b+c); 0];
% Centre de gravité du triangle de Gergonne
G1=SimplifieBary(Barycentre([A1 B1 C1],[1 1 1]));
% On trouve G1=[a*((b-c)^2-a*(b+c)); b*((c-a)^2-b*(c+a)); c*((a-b)^2-c*(a+b))]
Nul=Factor(det([O I G1]))
% Nul=0 donc O, I, G1 sont alignés
    Cordialement,
    Rescassol

  • Yannguyen
    Yannguyen
    Modifié (12 Mar)
    Merci Rescassol
    Je préfère la démo barycentrique :)
    Et je reste avec l'espoir d'une démo synthétique.
    Cordialement,
    Yann
  • john_john
    john_john
    Il semble même que le cercle circonscrit de $ABC$, le cercle inscrit de $ABC$ et le cercle d'Euler, mais cette fois du dit triangle podaire, font partie d'un faisceau linéaire (ce qui implique l'alignement).
  • Rescassol
    Rescassol
    Modifié (12 Mar)
    Bonsoir
    Oui, John_John, les équations barycentriques des trois cercles sont:
    $F_c(x,y,z)=a^2yz+b^2zx+c^2xy=0$
    $F_i(x,y,z)=4(a^2yz+b^2zx+c^2xy) - (x+y+z)((-a+b+c)^2x+(a-b+c)^2y+(a+b-c)^2z)=0$
    $F_e(x,y,z)=16abc(a^2yz+b^2zx+c^2xy) + (x+y+z)(px+qy+rz)=0$
    avec :
    $p=-(b-a+c)^2((b+c)(a(a+b+c) - (b-c)^2) - a^3)$
    $q=-(a-b+c)^2((c+a)(b(a+b+c) - (c-a)^2) - b^3)$
    $r=-(a+b-c)^2((a+b)(c(a+b+c) - (a-b)^2) - c^3)$
    On pose :
    $u=4(a-b+c)(a+b-c)(b-a+c)$
    $v=s_1^3-4s_1s_2+4s_3$ (en fonction des fonctions symétriques de $a,b,c$)
    Alors $uF_c+vF_i+F_e=0$, ce qui prouve que les trois cercles font partie d'un faisceau linéaire.
    Cordialement,
    Rescassol
  • Yannguyen
    Yannguyen
    Bonjour

    merci à vous deux ! Bravo 

    comment deviner la présence d’un faisceau de cercles à points limites ! Axé radical commun ?

    Bravo pour l’avoir vu !

    Mais, dans notre cas, quels en sont les points de Poncelet  !?
     
    Cordialement,


    Yann, toujours dans d’une preuve synthétique  de sa priorité initiale., et pourquoi pas de l’assertion sur le faisceau de cercles 
  • Rescassol
    Rescassol
    Modifié (13 Mar)
    Bonjour,

    L'axe radical commun est en barycentriques $Ax=[(b-a+c)^2, (a-b+c)^2, (a+b-c)^2]$.
    et $2s_2\space z + 2s_1s_3\space \overline{z} - (s_1s_2+3s_3) = 0$ en Morley inscrit.
    Il y a une histoire d'axe orthique.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Dans mon message en barycentriques ci dessus, on a $p=(b-a+c)^2v$ et permutation circulaire.

    Cordialement,
    Rescassol

  • john_john
    john_john
    Modifié (13 Mar)
    Merci, Rescassol, d'avoir fait le calcul ! Je m'apprêtais à le faire à la main (et en coordonnées cartésiennes) ; cela ne doit pas être la mer à boire.

    comment deviner la présence d’un faisceau de cercles à points limites ? J'ai fait la figure, avec les trois cercles ; leur imbrication, ainsi que l'alignement des centres, la suggérait nettement. Ensuite, j'ai construit avec Géogébra les axes radicaux de deux paires de ces trois cercles et, effectivement, ils coïncidaient.

    Il resterait à caractériser l'axe radical, les points de Poncelet et, pourquoi pas, un cercle orthogonal commun...
  • john_john
    john_john
    Modifié (13 Mar)
    La propriété s'étend aux cercles exinscrits ; là, on voit la configuration en faisceau : 


  • john_john
    john_john


    Les inverses de $A,B,C$ dans l'inversion laissant fixes les points du cercle inscrit sont les milieux $a,b,c$ du triangle de Gergonne. Donc, l'inverse du cercle circonscrit est le cercle d'Euler de $(abc)$. Donc, ces trois cercles sont en faisceau. 
  • Yannguyen
    Yannguyen
    Bonjour John-John
    l’argument est parfait. 
    Merci 

    Yann, qui a dû réviser les faisceaux de cercles 😂

  • john_john
    john_john
    Et Rescassol a mis le doigt dessus : l'axe radical du faisceau est effectivement l'axe orthique et le faisceau contient, en outre, pléthore de cercles remarquables : voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Axe_orthique
  • Yannguyen
    Yannguyen
    Bonjour 
    C'est fait dans le livre des 4auteurs en page 432

    Yann
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Modifié (16 Mar)
    Bonjour
    http://web.archive.org/web/20231002015939/https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Droite de Simson de Fe.pdf   p.12...
    Sincèrement
    Jean-Louis
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