Loi normale, Markov, Bienaymé-Tchebychev

Bonjour 
SOS, je ne sais pas utiliser ces inégalités pour résoudre mes 2 exo 
Merci de vos aides cet conseils S_U

Réponses

  • alexisp
    Modifié (15 Mar)
    Markov donne pour Z positive $$\forall a > 0, \quad \mathbb{P}(Z \geqslant a) \leqslant \frac{\mathbb{E}(Z)}{a}.$$
    Pour simplifier, on prend Z comme une variable de densité 0 sur $\mathbb{R}^-$ et $\sqrt(\pi/2).e^{-\frac{t^2}{2}}$ sur $\mathbb{R}^+$.
    $$\int_x^\infty \sqrt(\pi/2).e^{-\frac{t^2}{2}} dt = P(Z > x)$$
    $$P(Z > x) \leq \frac{1}{x} \int_0^\infty \sqrt(\pi/2).t e^{-\frac{t^2}{2}} dt = \frac{\sqrt(\pi/2)}{x}$$ ce qui donne le résultat de l'exo 1.
    Le 2.1 est similaire mais on utilise Tchebychev.
  • Simeon-urbain
    Modifié (15 Mar)
    Bonjour Alexisp,
    merci infiniment, je panique de voir le site bloqué , mais je ne vois pas le résultat, je réfléchis l l'intégrale de cette densité ne vaut pas 1?
    À vous bonne journée.
    Simeon
    PS : si je comprends mal puis-je vous écrire merci    ne faut-il pas choisir 
    Merci  de m'aider encore.
  • Oui je me suis trompé sur la constante de normalisation, mais le raisonnement est bon. P(Z>x)=1-P(0<Z<x) comme Z est positive. En rassemblant les pièces du puzzle tu dois pouvoir y arriver.
  • Chaurien
    Modifié (15 Mar)
    En fait, pour l'exercice 1, toutes les indications souhaitables sont dans l’énoncé. Il suffit de calculer l'espérance de $Y=|X|$, où $X$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal N(0,1)$ et d'appliquer l'inégalité de Markov à cette variable aléatoire $Y=|X|$, qui est assurément positive. 
    Il est gentil, cet exercice : son énoncé ressemble à un corrigé.
  • Chaurien
    Modifié (15 Mar)
    L'exercice 2 n'est pas plus difficile. Supposons que $X$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal N(0,1)$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dit que, pour $x>0$, on a :  $P(|X-E(X)| \ge x ) \le ...$. Il suffit d'exprimer ceci en fonction de $\Phi(x)$. Ensuite, suivre les indications.
  • Bonjour,

    merci de votre aide je vous souhaite le meilleur

     S_U
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